Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 45
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.
Então vamos relembrar que regra é essas para gente possa usar.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Vamos calcular o seguinte limite:
Como , podemos reescrever esse limite com:
E tirando o mmc entre os denominadores podemos transformar essa função em uma única fração.
Logo,
Se aplicarmos o limite fazendo , teremos:
E ficamos com:
Opa, chegamos numa indeterminação o tipo . Então, vamos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
Para isso vamos fazer:
Como nosso limite é:
Precisaremos das derivadas do numerador e do denominador. Vamos calcular cada uma delas separadamente primeiro. Ok?!
Sendo:
Sua derivada será:
E para
Aqui temos que aplicar a regra do produto fazendo a derivada da primeira função multiplicada pela segunda, mais a derivada da segunda função multiplicada pela primeira. Assim:
Ou melhor:
Aplicando regra de L’Hospital:
Agora vamos tentar calcular o limite.
Passo 4
Aplicando o tendendo a zero diretamente na função, teremos:
Como ainda estamos numa indeterminação, vamos aplicar novamente a regra de L’Hospital.
Passo 5
Para isso, teremos que derivar novamente as funções do numerador e do denominador. Agora com:
E
E para
Teremos:
E nosso limite se torna:
Passo 6
Agora que já nos livramos da indeterminação, podemos fazer :
Fazendo as contas:
Portanto,
E prontinho. Limite calculado.