Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.3 - Ex. 33
Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.
Passo 1
Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade?
Temos essa integral, e devemos integrar ou explicar o porquê não existe a integral, usando a segunda parte de TFC (Teorema Fundamental do)
A segunda parte do teorema fundamental do cálculo, diz o seguinte:
Se for contínua em , então:
Onde é qualquer antiderivada de .
Imagina que estamos olhando para o gráfico de uma função, como uma montanha russa. Para dizer que essa função é integrável, precisamos saber se podemos medir a área sob essa curva, um detalhe a ser analisado é a continuidade:
Uma função contínua, ou seja, sem buracos ou saltos, em um intervalo fechado é sempre integrável. Isso significa que, se você conseguir desenhar a função sem levantar o lápis do papel, ela é integrável nesse intervalo.
Funções Não Limitadas: Existem funções que não são limitadas e, portanto, não são integráveis. Um exemplo é a função , que não é limitada próximo a zero. Logo, não é integrável em intervalos que contenham zero no seu interior.
Resumindo:
Imagine que você está desenhando uma linha em um papel. Se essa linha é suave e contínua, sem levantar o lápis, é fácil medir a área abaixo dela. Mesmo que você tenha que levantar o lápis uma ou duas vezes, ainda dá para medir a área se essas interrupções não forem muitas ou não forem muito complicadas. Se você conseguir fazer isso, a função que desenhou é integrável.
Passo 2
A integral que ele nos pede para calcular é a seguinte:
Vamos lembrar uma coisa da trigonometria:
Vamos usar isso na nossa integral, pois a função seno é bem mais simples de analisar, então podemos escrever da seguinte maneira:
Mas repare que estamos integrando dentro do intervalo e a função não está definida nesses pontos, por , sendo um número inteiro, é igual a zero.
Para ficar mais fácil de ver:
Sendo assim, a integral não existe.
Mas um detalhe importante: se por acaso o limite de integração por exemplo for de a , aí sim temos a integral, então é muito importante sempre reparar os limites de integração e função que foi dada!
Resposta
Não existe.