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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 38

Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.

∫ t 3   e - t 2   d t

Passo 1

Opa, bora calcular essa integral aqui:

∫ t 3   e - t 2   d t

O enunciado pede pra a gente usar integração por partes. Mas primeiro precisamos fazer uma mudança de variável!

Faremos x = - t 2 . Assim, d x = - 2 t   d t ⇒ 2 t   d t = - d x . Note que a integral pode ser escrita como:

∫ t 3   e - t 2   d t = ∫ t 2   e - t 2   t   d t = 1 2 ∫ - x   e x   ( - d x ) = 1 2 ∫ x   e x   d x

Para resolver essa integral, vamos precisar usar integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Passo 2

Chamando u = x e d v = e x , segue que d u = d x e v = e x . Assim,

∫ t 3   e - t 2   d t = x   e x - ∫ e x   d x

Integrando:

∫ e x   d x = e x + C

Então:

∫ t 3   e - t 2   d t = x   e x - ∫ e x   d x = x   e x - e x + C

Voltando para a variável original:

∫ t 3   e - t 2   d t = - t 2 e - t 2 - e - t 2 + C

∫ t 3   e - t 2   d t = - t 2 e - t 2 - e - t 2 + C

Resposta

∫ t 3   e - t 2   d t = - t 2 e - t 2 - e - t 2 + C

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