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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 17

Calcule a integral.

int cos^2 x t g^3 x d x

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos tentar escrever a integral usando apenas as funções seno e cosseno. Lembrando que t g x = s e n x // cos x , temos que

int cos^2 x t g^3 x d x = int cos^2 x (s e n^3 x)/(cos^3 x) d x = int (s e n^3 x)/(cos x) d x = int (( 1 - cos^2 x ))/(cos x) s e n x d x

Note que como o expoente do seno era ímpar, pude separá-lo na integral. Além disso, como a derivada do cosseno é menos seno, vamos fazer a mudança de variável u = cos x com d u = - s e n x d x .

Passo 2

Fazendo a mudança de variável:

int cos^2 x t g^3 x d x = - int ((1 - u^2))/(u) d u = int (u - (1)/(u)) d u = (u^2)/(2) - ln |u| + C

Passo 3

Voltando para a variável original:

int cos^2 x t g^3 x d x = (1)/(2) cos^2 x - ln |cos x| + C

Resposta

(1)/(2) cos^2 x - ln |cos x| + C

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