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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 39

Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.

∫ π 2 π θ 3 cos ⁡ θ 2 d θ

Passo 1

Opa, bora calcular essa integral aqui:

∫ π 2 π θ 3 cos ⁡ θ 2 d θ

O enunciado pede pra a gente usar integração por partes. Mas primeiro precisamos fazer uma mudança de variável!

z = θ 2

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d z =   2 θ d θ → θ d θ = d z 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ θ 3 cos ⁡ θ 2 d θ = ∫ z cos ⁡ z 2 d z = 1 2 ∫ z cos ⁡ z d z

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos usar Integração por Partes agora:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos fazer então u = z e d v = cos ⁡ z d z :

d u = d z e v = sen ⁡ z

Vamos substituir agora:

∫ z cos ⁡ z 2 d z = z sen ⁡ z - ∫ sen ⁡ z d z

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

Então ficamos com:

∫ sen ⁡ z d z = - cos ⁡ z + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável θ , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ sen ⁡ z d z = - cos ⁡ z + C = - cos ⁡ θ 2 + C

Agora vamos voltar a expressão original:

∫ θ 3 cos ⁡ θ 2 d θ = 1 2 ∫ z cos ⁡ z d z = 1 2 z sen ⁡ z - ∫ sen ⁡ z d z

= 1 2 z sen ⁡ z - - cos ⁡ θ 2 + C = 1 2 θ 2 sen ⁡ θ 2 + cos ⁡ θ 2 + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ π 2 π θ 3 cos ⁡ θ 2 d θ = 1 2 θ 2 sen ⁡ θ 2 + cos ⁡ θ 2 π 2 π

= 1 2 1 2 π 2 sen ⁡ π 2 + cos ⁡ π 2 - π 2 2 sen ⁡ π 2 2 + cos ⁡ π 2 2

= 1 2 π . 0 + - 1 - 1 2 . π 2 . 1 + 0 = - 1 2 - π 4

Prontinho, temos:

∫ π 2 π θ 3 cos ⁡ θ 2 d θ = - 1 2 - π 4

Resposta

∫ π 2 π θ 3 cos ⁡ θ 2 d θ = - 1 2 - π 4

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