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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 36

Nos problemas 33-40, verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral.

4 y ' ' - 4 y ' + y = 0 ;   e x 2 ,   x e x 2     ( - ∞ ,   ∞ )

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes. E precisam satisfazer a EDO em questão.

Vamos ver primeiro se elas satisfazem a EDO...

Para y 1 = e x 2 , temos:

y 1 ' = e x 2 2

y 1 ' ' = e x 2 4

Substituindo na EDO:

4 y ' ' - 4 y ' + y = 0

4 e x 2 4 - 4 e x 2 2 + e x 2 = 0

e x 2 - 2 e x 2 + e x 2 = 0

0 = 0

Então ela satisfaz a equação. Vamos ver a outra...

Passo 2

Para y 2 = x e x 2 , temos:

y ' = e x 2 + x e x 2 2

y ' ' = e x 2 2 + e x 2 2 + x e x 2 4

Substituindo na EDO:

4 y ' ' - 4 y ' + y = 0

4 e x 2 2 + e x 2 2 + x e x 2 4 - 4 e x 2 + x e x 2 2 + x e x 2 = 0

2 e x 2 + 2 e x 2 + x e x 2 - 4 e x 2 - 2 x e x 2 = 0

0 = 0

E assim vemos que ela também satisfaz a equação😉

Passo 3

Agora vamos ver se elas são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:

W =   e x 2 x e x 2 e x 2 2 e x 2 + x e x 2 2

= e x + x e x 2 - x e x 2

= e x ≠ 0

Então vimos que as funções são LI, e, portanto, são um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.

Passo 4

Então agora, de acordo com a definição 4.4, temos que a solução geral é dada por:

y = c 1 e x 2 + c 2   x e x 2

E prontinho! Terminamos por aqui 😉

Resposta

Explicação no passo a passo.

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