Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.2 - Ex. 29

Nos problemas 21-30, resolva cada equação diferencial da maneira dos capítulos anteriores e então compare os resultados com as soluções obtidas através de séries de potências y = ∑ n = 0 ∞ x n . x n

y ' ' = y '

Passo 1

E aííí parceiro

Bora lá, a gente tem essa equação diferencial

y ' ' = y '

Aí temos que resolver essa equação diferencial utilizando as técnicas que já aprendemos até o momento beleza? Vamos lá

Passo 2

Bom, temos

y ' ' - y ' = 0

Vamos montar a equação auxiliar:

m 2 - m = 0

m m - 1 = 0

m = 0 ,   m = 1

Então, nossa solução geral é

y = c 1 + c 2 e x

E encontramos nossa solução :P

Agora vamos lá encontrar a solução utilizando série de potências

Passo 3

Pra começar, vamos substituir nossa equação diferencial em y = ∑ n = 0 ∞ c n . x n , isso nos dá:

y ' ' - y ' = ∑ n = 2 ∞ n . n - 1 c n . x n - 2 - ∑ n = 1 ∞ n c n . x n - 1

No primeiro somatório, vamos fazer k = n - 2   e no outro vamos deixar k = n - 1

y ' ' - y ' = ∑ k = 0 ∞ ( k + 2 ) ( k + 1 ) . c k + 2 . x k - ∑ k = 0 ∞ ( k + 1 ) c k + 1 . x k

Isso é:

y ' ' - y ' = ∑ k = 0 ∞ [ ( k + 2 ) ( k + 1 ) . c k + 2 - k + 1 c k + 1 ] . x k = 0

Então temos

( k + 2 ) ( k + 1 ) . c k + 2 - k + 1 c k + 1 = 0

c k + 2 = c k + 1 ( k + 2 ) ,   k = 0,1 , 2 …

Dessa forma, encontramos

c 2 = 1 2 c 1

c 3 = 1 3.2 c 1

c 4 = 1 4 ! c 1

Então, nossa solução é

y = c 0 + c 1 x + 1 2 c 1 x 2 + 1 3 ! c 1 x 3 + 1 4 ! c 1 x 4 + …

Fazendo c 0 = C 0 + c 1 :

y = C 0 + c 1 + c 1 x + 1 2 c 1 x 2 + 1 3 ! c 1 x 3 + 1 4 ! c 1 x 4 + …

y = C 0 + c 1 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3 ! x 3 + …

Que pode ser escrito assim:

y = C 0 + c 1 ∑ n = 0 ∞ x n n !

Que é:

y = C 0 + c 1 . e x

Exatamente o que encontramos no outro método :D

Resposta

y = C 0 + c 1 . e x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 11-20, encontre os quatro primeiros termos de uma série de potências em x para a função dada. Calcule a serie à mão ou use um SAC como ensinado. 1 1 - x 2 + x 4 3 - x 6 4 + …
Nos problemas 11-20, encontre os quatro primeiros termos de uma série de potências em x para a função dada. Calcule a serie à mão ou use um SAC como ensinado. 1 - x 2 2 + x 4 3 - x 6 4 + … 2
Nos problemas 21-30, resolva cada equação diferencial da maneira dos capítulos anteriores e então compare os resultados com as soluções obtidas através de séries de potências y = ∑ n = 0 ∞ x n . x n y
Nos problemas 21-30, resolva cada equação diferencial da maneira dos capítulos anteriores e então compare os resultados com as soluções obtidas através de séries de potências y = ∑ n = 0 ∞ x n . x n y
Nos problemas 21-30, resolva cada equação diferencial da maneira dos capítulos anteriores e então compare os resultados com as soluções obtidas através de séries de potências y = ∑ n = 0 ∞ x n . x n y