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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 37

Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes).

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = 0 ;     y = x 2 + x 2 ln ⁡ x ,     x > 0

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, a gente quer saber se   y = x 2 + x 2 ln ⁡ x   é solução da equação x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = 0 . Para saber isso, a gente tem que substituir os termos da equação e ver se temos uma igualdade verdadeira.

Já temos y , vamos descobrir quem é y ' e   y ' ' . Vamos derivar então! Vem comigo!

Passo 2

y = x 2 + x 2 ln ⁡ x

Derivando...

y ' = 2 x + 2 x ln ⁡ x + x

Derivando de novo, temos:

y ' ' =   2 + 2 ln ⁡ x + 2 + 1

y ' ' = 2 ln ⁡ x + 5

Show! Agora a gente vai substituir isso na equação...

Passo 3

Vamos substituir na equação agora...

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = 0

x 2 2 ln ⁡ x + 5 - 3 x 2 x + 2 x ln ⁡ x + x + 4 x 2 + x 2 ln ⁡ x = 0

2 x 2 ln ⁡ x + 5 x 2 - 9 x 2 - 6 x 2 ln ⁡ x + 4 x 2 + 4 x 2 ln ⁡ x = 0

0 = 0

Prontinho! Encontramos uma igualdade verdadeira, então a função é solução! 😉

Resposta

É solução.

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Resolva os problemas 1-4 sem consultar o texto. Complete o espaço em branco ou responda verdadeiro ou falso.O problema de valor inicial y ' = y 1 2 ,y 0 = 0 , não possui solução, pois ∂ f ∂ y é descon