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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 1.Exercícios de Revisão - Ex. 11

Nos problemas 9-16, determine, por inspeção, pelo menos uma solução para a equação diferencial dada.

y ' ' = 1

Passo 1

Temos a equação diferencial y ' ' = 1

E queremos encontrar um y que satisfaça essa equação. Mas vamos fazer isso por inspeção, ok?

Então vamos lá, qual é a função f ( x ) que a segunda derivada dela resulta em 1 ?

Primeiramente, vamos pensar em qual é a função que a primeira derivada dá 1 .

y 1 ' = 1

Temos que y 1 = x , certo? Pois a derivada de x vale 1

Passo 2

Agora precisamos encontrar qual a função que a primeira derivada resulta em x (afinal, a segunda derivada dela vai resultar em 1)

Vimos lá na teoria de solução por inspeção que:

d y d x x n = n . x n - 1

Como a derivada deve resultar em x , o nosso n deve valer 2 :

d y d x x 2 = 2 . x 2 - 1

Mas precisamos acrescentar uma constante que suma com esse 2 , afinal, ele não faz parte do x que queremos. Então vamos acrescentar 1 2 multiplicando, que aí corta o 2 em cima e embaixo:

d y d x 1 2 x 2 = 1 2 2 . x 1

d y d x 1 2 x 2 = x

Então, temos que

d y d x 1 2 . x 2 = x

Portanto, esse é o y cuja segunda derivada vale 1 :

y = 1 2   x ²

Resposta

y = 1 2   x ²

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