Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L(f(t)) .

16. f(t) = e^t * cos(t)

Passo 1

Então galera, para resolvermos os problemas 1-18 temos que lembrar da definição 7.1, assim como o enunciado sugere. Essa definição nos diz o seguinte:

L f t = ∫ 0 ∞ e - s t f t d t

Quando temos apenas uma função definida, obviamente teremos que resolver apenas uma integral, mas quando temos uma função definida a partir de dois ou mais intervalos, teremos que escrever duas ou mais integrais. Prometo que só PARECE complicado, pessoal!

Vamo que vamo por a ideia em prática!

Passo 2

A função f t que nos foi dada é essa aqui ó:

f t = e t cos ⁡ t

Aplicando a definição do passo 1, teremos:

L f t = ∫ 0 ∞ e - s t e t cos ⁡ t d t

L f t = ∫ 0 ∞ e t cos ⁡ t e - s t d t

E agora o que precisamos fazer é apenas resolver essas integrais, então bora lá!

Passo 3

Resolvendo essas integrais, teremos:

L f t = ∫ 0 ∞ e t cos ⁡ t e - s t d t

= 1 - s 1 - s 2 + 1 e 1 - s t . cos ⁡ t + 1 1 - s 2 + 1 e 1 - s t . s e n   t ∞ 0

Aplicando o intervalo de integração, teremos:

L f t = s - 1 s 2 - 2 s + 2

E está aí nossa Lagrangeana, galeris! 😊

Resposta

L f t = s - 1 s 2 - 2 s + 2

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