Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L f t .

5. f t = s e n   t ,   0 ≤ t < π 0 ,   t ≥ π

Passo 1

Então galera, para resolvermos os problemas 1-18 temos que lembrar da definição 7.1, assim como o enunciado sugere. Essa definição nos diz o seguinte:

L f t = ∫ 0 ∞ e - s t f t d t

Quando temos apenas uma função definida, obviamente teremos que resolver apenas uma integral, mas quando temos uma função definida a partir de dois ou mais intervalos, teremos que escrever duas ou mais integrais. Prometo que só PARECE complicado, pessoal!

Vamo que vamo por a ideia em prática!

Passo 2

A função f t que nos foi dada é essa aqui ó:

f t = s e n   t ,   0 ≤ t < π 0 ,   t ≥ π

Aplicando a definição do passo 1, teremos:

L f t = ∫ 0 π e - s t s e n   t d t + ∫ π ∞ e - s t 0 d t

L f t = ∫ 0 π s e n   t . e - s t d t

E agora o que precisamos fazer é apenas resolver essas integrais, então bora lá!

Passo 3

Resolvendo essas integrais, teremos:

L f t = ∫ 0 π s e n   t . e - s t d t = - s s 2 + 1 e - s t . s e n   t - 1 s 2 + 1 e - s t . cos ⁡ t π 0

Aplicando o intervalo de integração, teremos:

L f t = 0 + 1 s 2 + 1 e - π s - 0 - 1 s 2 + 1

∴ L f t = 1 s 2 + 1 e - π s + 1

E está aí nossa Lagrangeana, galeris! 😊

Resposta

L f t = 1 s 2 + 1 e - π s + 1

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