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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 6

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' ' - 6 y ' + 13 y = 0 ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = - 3

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' ' - 6 y ' + 13 y = 0 ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = - 3

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' - 6 y ' + 13 y = 0

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' 0 - 6 s . Y s - y 0 + 13 Y ( s ) = 0

Sabemos do enunciado que y 0 = 0 e y ' 0 = - 3 , então:

s 2 . Y s - s . 0 - ( - 3 ) - 6 s . Y s - 0 + 13 Y ( s ) = 0

s 2 . Y s + 3 - 6 s . Y s + 13 Y ( s ) = 0

Y s . s 2 + 3 - Y s . 6 s + Y s . 13 = 0

Y s . s 2 - Y s . 6 s + Y s . 13 = - 3

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . s 2 - 6 s + 13 = - 3

Y s = - 3 s 2 - 6 s + 13

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = - 3 s 2 - 6 s + 13

Podemos escrever isso assim olha:

Y s = - 3 s 2 - 6 s + 9 + 4

E aí vamos fatorar s 2 - 6 s + 9 sabendo que suas raízes são s = 3

Y s = - 3 ( s - 3 ) ² + 4

Isso pode ser escrito assim:

Y s = - 3 ( s - 3 ) ² + 2 ²

Multiplicando por 2 em cima e embaixo:

Y s = 2 2 - 3 ( s - 3 ) ² + 2 ²

Y s = - 3 2 2 ( s - 3 ) ² + 2 ²

Isso é a transformada de s e n ( 2 t ) com translação de 3 amostras por causa do s - 3 né galera

Como vimos lá atrás, quando temos translação em n amostras, multiplicamos por e n t

Então, nossa transformada inversa é:

y t = - 3 2 . e 3 t . s e n ( 2 t )

Resposta

y t = - 3 2 . e 3 t . s e n ( 2 t )

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