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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 22

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' ' + 4 y = f t

Em que f t = 1 ,   0 ≤ t < 1 0 ,   t ≥ 1 ,   y 0 = 0 ,   y ' 0 = - 1

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' ' + 4 y = f t

Em que f t = 1 ,   0 ≤ t < 1 0 ,   t ≥ 1 ,   y 0 = 0 ,   y ' 0 = - 1

Que podemos escrever assim:

y ' ' + 4 y = u t - u t - 1 ,   y 0 = 0 ,   y ' 0 = - 1

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' + 4 y = u t - u t - 1

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 ) + 4 Y s = 1 s - e - s . 1 s

Sabemos do enunciado que y 0 = 0 e y ' 0 = - 1

s 2 . Y s - s . 0 - ( - 1 ) + 4 Y s = 1 s - e - s . 1 s

s 2 . Y s + 4 Y s = 1 s - e - s . 1 s - 1

s 2 . Y s + 4 Y s = 1 s - e - s . 1 s - s s

s 2 . Y s + 4 Y s = 1 - e - s - s s

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . ( s 2 + 4 ) = 1 - e - s - s s

Y s = 1 - e - s - s s . ( s 2 + 4 )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = 1 - e - s - s s . ( s 2 + 4 )

Y s = 1 - s s . ( s 2 + 4 ) + - e - s s . ( s 2 + 4 )

Expandindo em frações parciais, temos:

Y s = 1 4 . 1 s - 1 4 . s s 2 + 4 - 1 2 . 2 s 2 + 4 - e - s 1 4 . 1 s - 1 4 . s s 2 + 4

Fazendo a transformada inversa, de acordo com as informações do passo 1, temos

y t = 1 4 - 1 4 cos ⁡ 2 t - 1 2 s e n 2 t - 1 4 - 1 4 c o s 2 t - 1 u ( t - 1 )

Resposta

y t = 1 4 - 1 4 cos ⁡ 2 t - 1 2 s e n 2 t - 1 4 - 1 4 c o s 2 t - 1 u ( t - 1 )

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