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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 8

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' ' - 4 y ' + 4 y = t ³ ,       y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' ' - 4 y ' + 4 y = t ³ ,       y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' - 4 y ' + 4 y = t ³

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' 0 - 4 s . Y s - y 0 + 4 Y ( s ) = 6 s 4

Sabemos do enunciado que y 0 = 1 e y ' 0 = 0 , então:

s 2 . Y s - s . 1 - 0 - 4 s . Y s - 1 + 4 Y ( s ) = 6 s 4

Y s . s 2 - s - Y s . 4 s + 4 + Y s . 4 = 6 s 4

Y s . s 2 - Y s . 4 s + Y s . 4 = 6 s 4 + s - 4

Y s . s 2 - Y s . 4 s + Y s . 4 = 6 + s - 4 . s 4 s 4

Y s . s 2 - Y s . 4 s + Y s . 4 = s 5 - 4 s 4 + 6 s 4

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . s 2 - 4 s + 4 = s 5 - 4 s 4 + 6 s 4

Y s = s 5 - 4 s 4 + 6 s 4 . ( s 2 - 4 s + 4 )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = s 5 - 4 s 4 + 6 s 4 . ( s 2 - 4 s + 4 )

E aí vamos fatorar s 2 - 4 s + 4 sabendo que suas raízes são s = 2

Y s = s 5 - 4 s 4 + 6 s 4 . ( s - 2 ) ²

Expandindo em frações parciais:

s 5 - 4 s 4 + 6 s 4 . ( s - 2 ) ² = A s 4 + B ( s - 2 ) + C ( s - 2 ) ²

A . s - 2 2 + B . ( s - 2 ) + C . s 4 = s 5 - 4 s 4 + 6

Uai que negócio gigantesco gente

Mas daí encontramos A = 3 2 ,   B = 1 ,   C = - 2

Então:

Y s = 3 2 s 4 + 1 s - 2 - 2 s - 2 2

Y ( s ) = 3 4 s + 9 8 s 2 + 3 2 s ³ + 3 2 s 4 + 1 4 ( s - 2 ) + - 13 8 ( s - 2 ) ²

Fazendo a transformada inversa dessas frações separadamente, encontramos:

y t = 3 2 t 3 + e 2 t - 2 t . e 2 t

Resposta

y t = 3 2 t 3 + e 2 t - 2 t . e 2 t

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