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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 7

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' ' - 6 y ' + 9 y = t ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = 1

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' ' - 6 y ' + 9 y = t ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = 1

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' - 6 y ' + 9 y = t

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' 0 - 6 s . Y s - y 0 + 9 Y ( s ) = 1 s 2

Sabemos do enunciado que y 0 = 0 e y ' 0 = 1 , então:

s 2 . Y s - s . 0 - 1 - 6 s . Y s - 0 + 9 Y ( s ) = 1 s 2

Y s . s 2 - 1 - Y s . 6 s + Y s . 9 = 1 s 2

Y s . s 2 - Y s . 6 s + Y s . 9 = 1 s 2 + 1

Y s . s 2 - Y s . 6 s + Y s . 9 = 1 + s ² s 2

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . s 2 - 6 s + 9 = 1 + s ² s 2

Y s = 1 + s ² s 2 s 2 - 6 s + 9

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = 1 + s ² s 2 s 2 - 6 s + 9

E aí vamos fatorar s 2 - 6 s + 9 sabendo que suas raízes são s = 3

Y s = 1 + s ² s 2 s - 3 ²

Expandindo em frações parciais:

1 + s 2 s 2 s - 3 2 = A s + B s 2 + C s - 3 + D ( s - 3 ) ²

A . s s - 3 2 + B s - 3 2 + C . s 2 . s - 3 + D . s 2 = 1 + s 2

A . s s 2 - 6 s + 9 + B s 2 - 6 s + 9 + C . s 3 - 3 C s 2 + D . s 2 = 1 + s ²

s 3 . A + C + s 2 - 6 A + B - 3 C + D + s 9 A - 6 B + 9 B = s 2 + 1

Então temos o sistema:

A + C = 0 - 6 A + B - 3 C + D = 1 9 A - 6 B = 0 9 B = 1

De onde encontramos A = 2 27 , B = 1 9 , C = - 2 27 e D = 10 9

Então:

Y ( s ) = 2 27 s + 1 9 s 2 + - 2 27 s - 3 + 10 9 ( s - 3 ) ²

Fazendo a transformada inversa dessas frações separadamente, encontramos:

y t = 2 27 + 1 9 t - 2 27 e 3 t + 10 9 t . e 3 t

Resposta

y t = 2 27 + 1 9 t - 2 27 e 3 t + 10 9 t . e 3 t

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