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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 11

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' ' + y = s e n t ,       y 0 = 1 ,   y ' 0 = - 1

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' ' + y = s e n t ,       y 0 = 1 ,   y ' 0 = - 1

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' + y = s e n t

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' 0 + Y ( s ) = 1 s 2 + 1

Sabemos do enunciado que y 0 = 1 e y ' 0 = - 1 , então:

s 2 . Y s - s . 1 - ( - 1 ) + Y ( s ) = 1 s 2 + 1

Y s . s 2 - s + 1 + Y s = 1 s 2 + 1

Y s . s 2 + Y s = 1 s 2 + 1 + ( s - 1 )

Y s . s 2 + Y s = s 3 - s 2 + s s 2 + 1

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . ( s 2 + 1 ) = s 3 - s 2 + s s 2 + 1

Y s = s 3 - s 2 + s ( s 2 + 1 ) . ( s 2 + 1 )

Y s = s 3 - s 2 + s ( s 2 + 1 ) ²

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = s 3 - s 2 + s ( s 2 + 1 ) ²

Expandindo em frações parciais:

s 3 - s 2 + s ( s 2 + 1 ) ² = A s + B s 2 + 1 + C s + D ( s 2 + 1 ) ²

E aí encontramos A = 1 ,   B = - 1 ,   C = 0 e D = 1

Então:

Y s = s - 1 s 2 + 1 + 1 ( s 2 + 1 ) ²

Y s = s s 2 + 1 + - 1 s 2 + 1 + 1 ( s 2 + 1 ) ²

Fazendo a transformada inversa dessas frações separadamente, encontramos:

y t = cos ⁡ t - 1 2 s e n t - 1 2 t . c o s ⁡ ( t )

Resposta

y t = cos ⁡ t - 1 2 s e n t - 1 2 t . c o s ⁡ ( t )

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Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. d y d t + 6 y t + 9 ∫ 0 t y τ d τ = 1 , y 0 = 0
Use a transformada de Laplace para determinar a carga q ( t ) no capacitor em um circuito em série L-C quando q 0 = 0 ,i 0 = 0 e E t = E 0 . e - k t , k0
Um peso de 4k g distende uma mola em 2c m . O peso é solto na posição de equilíbrio a partir do repouso. Determine a equação de movimento se uma força externa f t = s e n ( t ) age sobre o sistema dur
Use a transformada para determinar a corrente i ( t ) em um circuito em série L-R quando i 0 = 0 , L = 1h e n r y , R = 10o h m s e E ( t ) é a voltagem dada na figura 7.46
Lembre-se de que a equação diferencial para a carga instantânea q ( t ) no capacitor em um circuito em série L - C - R é dada por L d 2 q d t ² + R d q d t + 1 C q = E ( t ) ² Veja a seção 5.4. Use a