Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 14

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' ' - 2 y ' = e t . s e n h ⁡ ( t ) ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' ' - 2 y ' = e t . s e n h ⁡ ( t ) ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' - 2 y ' = e t . senh ⁡ t

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' 0 - 2 s . Y s - y 0 = 1 s - 1 2 - 1

Sabemos do enunciado que y 0 = 0 e y ' 0 = 0 , então:

s 2 . Y s - s . 0 - 0 - 2 s . Y s - 0 = 1 s - 1 2 - 1

Y s . s 2 - Y s . 2 s = 1 s 2 - 2 s + 1 - 1

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . ( s 2 - 2 s ) = 1 s 2 - 2 s

Y s = 1 ( s 2 - 2 s ) ²

Y s = 1 ( s . ( s - 2 ) ) ²

Y s = 1 s 2 . ( s - 2 ) ²

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = 1 s 2 . ( s - 2 ) ²

Expandindo em frações parciais:

1 s 2 . ( s - 2 ) ² = A s + B s 2 + C s - 2 + D ( s - 2 ) ²

E aí encontramos A = 1 4 ,   B = 1 4 ,   C = - 1 4 ,   D = 1 4

Então:

1 s 2 . ( s - 2 ) ² = 1 4 s + 1 4 s 2 + - 1 4 s - 2 + 1 4 ( s - 2 ) ²

Fazendo a transformada inversa dessas frações separadamente, encontramos:

y t = 1 4 + 1 4 t - 1 4 e 2 t + 1 4 t . e 2 t

Resposta

y t = 1 4 + 1 4 t - 1 4 e 2 t + 1 4 t . e 2 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. f t + 2 ∫ 0 t f ( τ )c o s t - τ d τ = 4 e - t + s e n ( t )
Use o procedimento exposto no problema 61 para encontrar uma solução para o problema de valor inicial y ' ' + y = sec ⁡ t ,y 0 = 0 ,y ' 0 = 0
Nos problemas 59 e 60 use a transformada de Laplace e o Teorema 7.7 para encontrar uma solução para a equação dada t y ' ' + 2 t y ' + 2 y = 0 ,y 0 = 0
Neste problema, mostramos como a convolução pode ser usada para encontrar uma solução para um problema de valor inicial do tipo a y ' ' + b y ' + c y = g t , y 0 = 0 ,y ' 0 = 0 ( 13 ) (a) Mostre que a
Nos problemas 59 e 60 use a transformada de Laplace e o Teorema 7.7 para encontrar uma solução para a equação dada t y ' ' - y ' = t 2 ,y 0 = 0