Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 59
Nos problemas 59 e 60 use a transformada de Laplace e o Teorema 7.7 para encontrar uma solução para a equação dada
Passo 1
Oieee, vamos lá?
Temos essa equação aqui:
E para encontrarmos sua solução, vamos usar a transformada de Laplace e também o teorema 7.7 aí do seu livro, que diz o seguinte:
Onde
Vamos também lembrar algumas Transformadas de Laplace:
Agora sim, vamos lá!
Passo 2
Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:
Como sabemos que , então , dessa forma, a nossa transformada vai ficar assim:
Sabemos que :
Agora vamos derivar o que está ali dentro do parênteses. Para o primeiro termo, vamos usar regra do produto, enquanto a derivada do termo vai zerar (é uma constante):
Juntando os termos em comum:
Dividindo tudo por :
Aiaiaiai e vamos lá encontrar esse através dessa equação diferencial
Passo 3
Ó que belezinha a equação diferencial que temos aqui:
Embora a transformada de Laplace nos ajude justamente a não ter que utilizar aquelas técnicas do começo do livro, aqui no caso vamos ter que usar ta bom?
Isso aí é uma equação diferencial linear, pois pode ser escrita no formato
Sabemos que a resolução de uma equação diferencial linear é dada por
Onde
Na nossa equação , temos e então:
Belezinha, já encontramos nosso fator de integração, vamos continuar que ainda falta achar a resolução da EDO a partir disso beleza?
Passo 4
Vamos substituir e na equação :
Então:
Uhuuuuu!! Agora é só encontrarmos a transformada inversa disso!!
Passo 5
A solução no domínio é:
Podemos manipular escrevendo assim:
De acordo com o que vimos lá no passo 1, a transformada inversa é:
