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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 61

Neste problema, mostramos como a convolução pode ser usada para encontrar uma solução para um problema de valor inicial do tipo

a y ' ' + b y ' + c y = g t ,     y 0 = 0 ,       y ' 0 = 0                 ( 13 )

(a) Mostre que a solução y 1 ( t ) para o problema de valor inicial

a y ' ' + b y ' + c y = 0 ,     y 0 = 0 ,       y ' 0 = 1

É

y 1 t = L - 1 a a 2 + b s + c

(b) Use o resultado da parte (a) para mostrar que a solução y 2 ( t ) para o problema de valor inicial (13) é dada por

y 2 t = 1 a g * y 1

Passo 1

(a) Mais uma questãozinha de Laplace que vamos matar rapidão, bora!

Temos

a y ' ' + b y ' + c y = 0 ,     y 0 = 0 ,       y ' 0 = 1

E para encontrarmos sua solução, vamos usar a transformada de Laplace ok?

Antes vamos também lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Agora sim, vamos lá!

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

a y ' ' + b y ' + c y = 0

a s 2 . Y s - s . y 0 - y ' 0 + b s . Y s - y 0 + c . Y s = 0

Sabemos que y 0 = 0 e y ' 0 = 1 :

a s 2 . Y s - s . 0 - 1 + b s . Y s - 0 + c . Y s = 0

Y s . a . s 2 - a + Y s . b . s + Y s . c = 0

Y s . a . s 2 + Y s . b . s + Y s . c = a

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . a s 2 + b s + c = a

Isolando:

Y s = a a s 2 + b s + c

Então, no domínio t temos

y 1 t = L - 1 a a s 2 + b s + c

Ta provadíssimooo

Passo 3

(b) Ok ok, agora queremos provar que a solução disso:

a y ' ' + b y ' + c y = g t ,     y 0 = 0 ,       y ' 0 = 0

É isso:

y 2 t = 1 a g * y 1

Então vamos fazer a transformada da nossa equação:

a y ' ' + b y ' + c y = g t

a s 2 . Y s - s . y 0 - y ' 0 + b s . Y s - y 0 + c . Y s = G ( s )

Sabemos que y 0 = y ' 0 = 0 :

a s 2 . Y s - s . 0 - 0 + b s . Y s - 0 + c . Y s = G ( s )

Y s . a . s 2 + Y s . b . s + Y s . c = G ( s )

Y s . a s 2 + b s + c = G ( s )

Então

Y s = G ( s ) a s 2 + b s + c

Eita e agora para encontrarmos a transformada inversa disso?......

Passo 4

Temos

Y s = G ( s ) a s 2 + b s + c

E queremos encontrar a expressão de y 2 ( t ) :

y 2 t = L - 1 G s a s 2 + b s + c

Multiplicando por a em cima e embaixo:

y 2 t = L - 1 1 a G s . a a s 2 + b s + c

y 2 t = 1 a L - 1 G ( s ) a a s 2 + b s + c

Sabemos que a multiplicação no domínio s é a convolução no domínio t , ou seja:

H s . F s = h t * g ( t )

Então:

y 2 t = 1 a L - 1 G s * L - 1 a a s 2 + b s + c

E pelo que vimos no item a, L - 1 a a s 2 + b s + c = y 1 ( t )

y 2 t = 1 a g ( t ) * y 1 ( t )

E então, está provado que:

y 2 t = 1 a g * y 1

Uhuuuuu

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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