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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 10

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 1 + t ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = 4

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 1 + t ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = 4

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 1 + t

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' 0 - 2 s . Y s - y 0 + 5 Y s = 1 s + 1 s 2

Sabemos do enunciado que y 0 = 0 e y ' 0 = 4 , então:

s 2 . Y s - s . 0 - 4 - 2 s . Y s - 0 + 5 Y s = s + 1 s ²

Y s . s 2 - Y s . 2 s + Y s . 5 = s + 1 s 2 + 4

Y s . s 2 - Y s . 2 s + Y s . 5 = 4 s 2 + s + 1 s 2

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . ( s 2 - 2 s + 5 ) = 4 s 2 + s + 1 s 2

Y s = 4 s 2 + s + 1 s 2 ( s 2 - 2 s + 5 )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = 4 s 2 + s + 1 s 2 ( s 2 - 2 s + 5 )

Expandindo em frações parciais:

4 s 2 + s + 1 s 2 ( s 2 - 2 s + 5 ) = A s + B s 2 + C s + D s 2 - 2 s + 5

E aí encontramos A = 7 25 ,   B = 1 5 ,   C = - 7 25 e D = 109 25

Então:

Y s = 7 25 s + 1 5 s 2 + - 7 25 s + 109 25 s 2 - 2 s + 5

Y s = 7 25 s + 1 5 s 2 + - 7 25 s s 2 - 2 s + 1 + 4 + 109 25 s 2 - 2 s + 1 + 4

Y s = 7 25 s + 1 5 s 2 + - 7 25 s ( s - 1 ) ² + 4 + 109 25 ( s - 1 ) ² + 4

Fazendo a transformada inversa dessas frações separadamente, encontramos:

y t = 7 25 + 1 5 t - 7 25 e t . cos ⁡ 2 t + 51 25 e t s e n ( 2 t )

Resposta

y t = 7 25 + 1 5 t - 7 25 e t . cos ⁡ 2 t + 51 25 e t s e n ( 2 t )

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Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. y ' t = 1 - s e n t - ∫ 0 t y τ d τ , y 0 = 0
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. f t + ∫ 0 t f ( τ )d τ = 1
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Nos problemas 27 e 28, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas. y ' ' + 2 y ' + y = 0 ,y ' 0 = 2 ,y 1 = 2