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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 5

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' ' + 5 y ' + 4 y = 0 ,       y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' ' + 5 y ' + 4 y = 0 ,       y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' + 5 y ' + 4 y = 0

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' 0 + 5 s . Y s - y 0 + 4 Y ( s ) = 0

Sabemos do enunciado que y 0 = 1 e y ' 0 = 0 , então:

s 2 . Y s - s . 1 - 0 + 5 s . Y s - 1 + 4 Y ( s ) = 0

s 2 . Y s - s + 5 s . Y s - 1 + 4 Y ( s ) = 0

Y s . s 2 - s + Y s . 5 s - 5 + 4 Y s = 0

Y s . s 2 + Y s . 5 s + 4 Y s = s + 5

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . ( s 2 + 5 s + 4 ) = s + 5

Y s = s + 5 s 2 + 5 s + 4

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = s + 5 s 2 + 5 s + 4

Fatorando o s 2 + 5 s + 4 , sabendo que suas raízes são - 1 e - 4

Y s = s + 5 s + 1 . ( s + 4 )

Expandindo em frações parciais:

s + 5 s + 1 . s + 4 = A s + 1 + B s + 4

A s + 4 + B s + 1 = s + 5

Se s = - 4 :

A . 0 + B - 4 + 1 = - 4 + 5

- 3 B = 1

B = - 1 3

Se s = - 1 :

A - 1 + 4 + B . 0 = - 1 + 5

3 A = 4

A = 4 3

Então:

Y ( s ) = 4 3 s + 1 + - 1 3 s + 4

Fazendo a transformada inversa dessas frações separadamente, encontramos:

y t = 4 3 e - t - 1 3 e - 4 t

Resposta

y t = 4 3 e - t - 1 3 e - 4 t

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