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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 23

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' ' + 4 y = s e n   t   u t - 2 π ,     y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' ' + 4 y = s e n   t   u t - 2 π ,     y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' + 4 y = s e n   t   u t - 2 π

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 ) + 4 Y s = e - 2 π s . 1 s 2 + 1

Sabemos do enunciado que y 0 = 1 e y ' 0 = 0

s 2 . Y s - s . 1 - 0 + 4 Y s = e - 2 π s . 1 s 2 + 1

Y s . s 2 - s + Y s . 4 = e - 2 π s . 1 s 2 + 1

Y s . s 2 + Y s . 4 = e - 2 π s . 1 s 2 + 1 + s

Y s . s 2 + Y s . 4 = e - 2 π s . s 3 + s + 1 s 2 + 1

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . ( s 2 + 4 ) = e - 2 π s . s 3 + s + 1 s 2 + 1

Y s = e - 2 π s . s 3 + s + 1 s 2 + 1 . ( s 2 + 4 )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = e - 2 π s . s 3 + s + 1 s 2 + 1 . ( s 2 + 4 )

Expandindo em frações parciais, temos:

s 3 + s + 1 s 2 + 1 . ( s 2 + 4 ) = 1 3 . 1 s 2 + 1 + 1 3 3 s - 1 s 2 + 4

Então:

Y s = e - 2 π s . 1 3 . 1 s 2 + 1 + 1 3 3 s - 1 s 2 + 4

Fazendo a transformada inversa, de acordo com as informações do passo 1, temos

y t = cos ⁡ 2 t + 1 3 s e n t - 2 π - 1 6 s e n 2 t - 2 π u ( t - 2 π )

Resposta

y t = cos ⁡ 2 t + 1 3 s e n t - 2 π - 1 6 s e n 2 t - 2 π u ( t - 2 π )

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