Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 57

Resolva o problema 55 quando a carga é dada por

w (x) = {[[w_0 , 0 < x < L // 2],[0 , (L)/(2) < x < L]])

Passo 1

E aííí meu colega, como vai?

Aqui temos uma aplicação física de equações diferenciais, onde queremos encontrar a deflexão y ( x ) de uma viga a partir de

(d^4 y)/(d x^4) = (w_0)/(E I)

Em que y (0) = 0 , y^' (0) = 0 , y^(' ') (L) = 0 e y^(' ' ') (L) = 0

Além disso, seguindo isso:

w (x) = {[[w_0 , 0 < x < L // 2],[0 , (L)/(2) < x < L]])

Temos que w (x) = w_0 (1 - u (x - (L)/(2)))

E bom, para resolver essa >equaçãozinha

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L {y (t)} = Y ( s )

L {y ' (t)} = s . Y (s) - y ( 0 )

L {y ' ' (t)} = s^2 . Y (s) - s . y (0) - y ' ( 0 )

L {y^(( n )) (t)} = s^n . Y (s) - s^(n - 1) . y (0) - s^(n - 2) y^' (0) - ... - y^((n)) ( 0 )

L {1} = (1)/(s)

L {t^n} = (n !)/(s^(n + 1))

L {e^(alpha t)} = (1)/(s - alpha)

L {c o s ( k t )} = (s)/(s^2 + k ²)

L {s e n ( k t )} = (k)/(s^2 + k ²)

L {delta ( t + k )} = e^(k s)

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L {e^(alpha) . f (t)} = F ( s - alpha )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

(d^4 y)/(d x^4) = (w_0 (1 - u (x - (L)/(2))))/(E I)

(s^4 . Y (s) - s^3 . y (0) - s^2 y^' (0) - s . y^(' ') (0) - y^(' ' ') (0)) = (w_0)/(E I) . (1)/(s) (1 - e^(- (L s)/(2)))

Sabemos que y (0) = 0 e y^' (0) = 0 .

O y ' ' ( 0 ) e y ' ' ' ( 0 ) a gente deixa assim por enquanto, porque são constantes que não sabemos o valor, certo?

(s^4 . Y (s) - s^3 . 0 - s^2 0 - s . y^(' ') (0) - y^(' ' ') (0)) = (w_0)/(E I) . (1)/(s) (1 - e^(- (L s)/(2)))

(s^4 . Y (s) - s . y^(' ') (0) - y^(' ' ') (0)) = (w_0)/(E I) . (1)/(s) (1 - e^(- (L s)/(2)))

Y (s) . s^4 - s . y^(' ') (0) - E I . y^(' ' ') (0) = (w_0)/(E I) . (1)/(s) (1 - e^(- (L s)/(2)))

Y (s) . s^4 = (w_0)/(E I) . (1)/(s) (1 - e^(- (L s)/(2))) + s . y^(' ') (0) + y^(' ' ') (0)

Isolando Y ( s ) :

Y (s) = (w_0)/(E I) . (1)/(s^5) (1 - e^(- (L s)/(2))) + (y^(' ') (0))/(s^3) + (y^(' ' ') (0))/(s^4)

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, vamo que vamo

Passo 3

Temos

Y (s) = (w_0)/(E I) . (1)/(s^5) (1 - e^(- (L s)/(2))) + (y^(' ') (0))/(s^3) + (y^(' ' ') (0))/(s^4)

Vamos manipular algebricamente as 3 frações para termos algo parecido com a transformada de x^n , que é (n !)/(s^(n + 1)) :

Y (s) = (w_0)/(E I) . (4 !)/(s^5) . (1)/(24) (1 - e^(- (L s)/(2))) + (1)/(2) y^(' ') (0) . (2 !)/(s^3) + (1)/(6) y^(' ' ') (0) (3 !)/(s^4)

Então temos:

y (x) = (w_0)/(24 . E I) . (x^4 - (x - (L)/(2))^4 u (x - (L)/(2))) + (y^(' ') (0))/(2) . x^2 + (y^(' ' ') (0))/(6) . x^3 ( I )

Belezinha, agora ainda falta só mais um pouco, juro juradinho!

Precisamos usar as informações de que y^(' ') (L) = 0 e y^(' ' ') (L) = 0 para encontrarmos as constantes y ' ' ( 0 ) e y ' ' ' ( 0 ) , vamos lá!

Passo 4

Temos

y (x) = (w_0)/(24 . E I) . (x^4 - (x - (L)/(2))^4 u (x - (L)/(2))) + (y^(' ') (0))/(2) . x^2 + (y^(' ' ') (0))/(6) . x^3

Vamos encontrar y ' ' ( x ) e y ' ' ' ( x )

Derivando uma vez:

y^' (x) = (w_0)/(6 . E I) . (x ³ - (x - (L)/(2))^3 u (x - (L)/(2))) + y^(' ') (0) . x + (1)/(2) y^(' ' ') (0) . x ²

Derivando de novo:

y^(' ') (x) = (w_0)/(2 E I) . (x ² - (x - (L)/(2))^2 u (x - (L)/(2))) + y^(' ') (0) + y^(' ' ') (0) . x

Última vez hahahaha:

y^(' ' ') (x) = (w_0)/(E I) . (x - (x - (L)/(2)) u (x - (L)/(2))) + y ' ' ' ( 0 )

Agora vamos aplicar y^(' ') (L) e y ' ' ' ( L )

Passo 5

Temos y^(' ') (L) = 0 :

y^(' ') (L) = (w_0)/(2 E I) . (L ² - (L - (L)/(2))^2) + y^(' ') (0) + y^(' ' ') (0) . L = 0

E y^(' ' ') (L) = 0 :

y^(' ' ') (x) = (w_0)/(E I) . (x - (x - (L)/(2)) u (x - (L)/(2))) + y^(' ' ') (0) = 0

Através das duas equações, encontramos

y^(' ') (0) = (1)/(8) (w_0)/(E I) L ²

y^(' ' ') (0) = - (1)/(2) . (w_0 L)/(E I)

Agora vamos substituir esse valor lá em ( I ) ok?

Passo 6

Temos y^(' ') (0) = (1)/(8) (w_0)/(E I) L ²

y^(' ' ') (0) = - (1)/(2) . (w_0 L)/(E I)

E temos que y ( x ) é:

y (x) = (w_0)/(24 . E I) . (x^4 - (x - (L)/(2))^4 u (x - (L)/(2))) + (y^(' ') (0))/(2) . x^2 + (y^(' ' ') (0))/(6) . x^3

Substituindo y ' ' ( 0 ) e y ' ' ' ( 0 ) :

y (x) = (w_0)/(24 . E I) . (x^4 - (x - (L)/(2))^4 u (x - (L)/(2))) + (w_0 L ²)/(16 E I) . x^2 - (w_0 L)/(12 E I) . x^3

E fimmmmmm

Resposta

y (x) = (w_0)/(24 . E I) . (x^4 - (x - (L)/(2))^4 u (x - (L)/(2))) + (w_0 L ²)/(16 E I) . x^2 - (w_0 L)/(12 E I) . x^3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a transformada de Laplace para determinar a carga no capacitor em um circuito em série R-C se q 0 = 0 , R = 2,5o h m s , C = 0 , 08f a r a d e E ( t ) é a voltagem dada na figura 7.44
Resolva o problema 39 quando E t = 100 [ t - t - 1 u t - 1 ]
Use a transformada de Laplace para determinar a carga no capacitor em um circuito em série R-C quando q 0 = 0 , R = 50o h m s , C = 0 , 0 1f a r a d e E ( t ) é a voltagem dada na figura 7.45
Um peso de 1k g é atado a uma mola de constante elástica k = 4,5N / m . Começando em t = 0 , uma força igual a f t = 4 . s e n 3 t + 2 . c o s ⁡ ( 3 t ) age sobre o sistema. Supondo que não haja força
Use a equação (3) para determinar a corrente i ( t ) em um circuito em série L-R-C quando L = 0,005h e n r y , R = 1o h m , C = 0,02f a r a d , E t = 100 1 - u t - 1v o l t s e i 0 = 0