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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 40

Use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que:

e x = t

e 2 x = t ²

Então, temos a seguinte relação:

y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0

y = e r x

y ' = r e r x

y ' ' = r ² e r x

r 2 - 4 r + 4 = 0

r = 2

c ' ' t c ' t =   - 1 t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

c ' t = e - ln ⁡ t   + C 3

c t = e C 3 ln ⁡ t + C 4

y t = e C 3 t ² ln ⁡ t + C 4 t ²  

y t = C 5 t ² ln ⁡ t + C 4 t ²

Resposta

y t = C 5 t ² ln ⁡ t + C 4 t ²

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