Enunciado

Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.

L - 1 2 s + 4 ( s - 2 ) ( s 2 + 4 s + 3 )

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

A gente quer encontrar a transformada inversa disso aqui:

L - 1 2 s + 4 ( s - 2 ) ( s 2 + 4 s + 3 )

Aqui a gente vai tirar as frações parciais assim:

2 s + 4 ( s - 2 ) ( s 2 + 4 s + 3 ) = 2 s + 4 ( s - 2 ) ( s + 3 ) ( s + 1 ) = A s - 2 + B s + 3 + C s + 1

Vamos descobrir esse A ,   B   e   C aí...

Passo 2

Vamos ter:

2 s + 4 = A s + 3 s + 1 + B ( s - 2 s + 1 + C ( s - 2 ) ( s + 3 )

2 s + 4 = A s 2 + 4 s + 3 + B s 2 - s - 2 + C ( s 2 + s - 6 )

Daí tiramos que:

A = 8 15 ;     B =   - 1 5 ;     C = - 1 3

Nossa expressão então fica:

2 s + 4 ( s - 2 ) ( s 2 + 4 s + 3 ) = 8 15 ( s - 2 ) - 1 5 s + 3 - 1 3 ( s + 1 )  

Passo 3

E aí iremos fazer:

L - 1 2 s + 4 ( s - 2 ) ( s 2 + 4 s + 3 ) = 8 15   L - 1 1 s - 2 - 1 5 L - 1 1 s + 3 - 1 3 L - 1 1 s + 1

Daí, utilizando as transformações do teorema 7.3, temos:

8 15   L - 1 1 s - 2 = 8 15 e 2 t

- 1 5 L - 1 1 s + 3 = - 1 5 e - 3 t

- 1 3 L - 1 1 s + 1 = - 1 3 e - t

Agora, juntamos os dois:

L - 1 2 s + 4 ( s - 2 ) ( s 2 + 4 s + 3 ) = 8 15 e 2 t - 1 5 e - 3 t - 1 3 e - t

E prontinho! 😉

Resposta

L - 1 2 s + 4 ( s - 2 ) ( s 2 + 4 s + 3 ) = 8 15 e 2 t - 1 5 e - 3 t - 1 3 e - t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida. L - 1 2 s - 6 s 2 + 9
Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida. L - 1 1 4 s 2 + 1
Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida. L - 1 1 s 2 - 16
Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida. L - 1 10 s s 2 + 16
Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida. L - 1 4 s 4 s 2 + 1