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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 33

Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.

L - 1 1 ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 )

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

A gente quer encontrar a transformada inversa disso aqui:

L - 1 1 ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 )

Vamos separar isso por frações parciais. Nesse caso temos dois termos quadráticos irredutíveis, então fica:

1 ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 ) = A s + B s 2 + 1 + C s + D s 2 + 4

Passo 2

Vamos encontrar os valores de A, B C e D ali:

1 = A s + B s 2 + 4 + C s + D s 2 + 1

1 = A s 3 + 4 A s + B s 2 + 4 B + C s 3 + C s + D s 2 + D

A + C = 0

B + D = 0

4 A + C = 0

4 B + D = 1

Com isso achamos:

A = 0

B = 1 3

C = 0

D = - 1 3

Passo 3

Temos que resolver:

L - 1 1 ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 ) =   L - 1 1 3 ( s 2 + 1 ) - L - 1 1 3 ( s 2 + 4 )

Daí, utilizando as transformações do teorema 7.3, temos:

L - 1 1 3 ( s 2 + 1 ) = 1 3 L - 1 1 ( s 2 + 1 ) = 1 3 sen ⁡ t

L - 1 1 3 ( s 2 + 4 ) = 1 6 L - 1 2 ( s 2 + 4 ) = 1 6 sen ⁡ 2 t

Agora, juntamos tudo:

L - 1 1 ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 ) = 1 3 sen ⁡ t - 1 6 sen ⁡ 2 t  

E prontinho! 😉

Resposta

L - 1 1 ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 ) = 1 3 sen ⁡ t - 1 6 sen ⁡ 2 t  

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