Enunciado

Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

A gente quer encontrar a transformada inversa disso aqui:

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )

Como a gente tem um termo linear e um termo quadrático irredutível aqui, a gente vai tirar as frações parciais assim:

s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = A s + 2 + B s + C s 2 + 4

Vamos descobrir esse A ,   B ,   C   aí...

Passo 2

Vamos ter:

s = A s 2 + 4 + B s + C ( s + 2 )

s = A s 2 + 4 A + B s 2 + 2 B s + C s + 2 C

s = s 2 A + B + s 2 B + C + 2 C + 4 A

Daí temos:

A + B = 0

2 B + C = 1

2 C + 4 A = 0

Daqui encontramos:

A = - 1 4

B = 1 4

C = 1 2

Passo 3

Com isso temos:

s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = - 1 4 s + 2 + s 4 ( s 2 + 4 ) + 1 2 ( s 2 + 4 )

E aí iremos fazer:

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = - 1 4 L - 1 1 s + 2 + 1 4 L - 1 s s 2 + 4 + 1 2 L - 1 1 s 2 + 4

Daí, utilizando as transformações do teorema 7.3, temos:

- 1 4 L - 1 1 s + 2 =   - 1 4 e - 2 t

1 4 L - 1 s s 2 + 4 = 1 4 cos ⁡ 2 t

1 2 L - 1 1 s 2 + 4 = 1 4 sen ⁡ 2 t

Agora, juntamos tudo:

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = - 1 4 e - 2 t + 1 4 co s ⁡ 2 t + 1 4 sen ⁡ 2 t

E prontinho! 😉

Resposta

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = - 1 4 e - 2 t + 1 4 cos ⁡ 2 t + 1 4 sen ⁡ 2 t

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