Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 29
Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
Oiii, vamos matar esse exercício?
Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:
1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é
2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é
3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é
Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:
Então vamos lá??
Passo 2
Usando a equação auxiliar, vamos escrever
Assim:
Para resolver essa equação, vamos aplicar a regra de potência que diz que
Colocando em evidência:
Então já sabemos que temos duas raízes em , porque
Agora para encontrarmos as outras raízes, vamos resolver:
Passo 3
Temos que resolver essa equação para encontrar as outras raízes:
Calculando o :
Então:
Assim, nossas duas outras raízes são
Então temos 2 raízes iguais e 2 raízes diferentes complexas. Assim, nossa solução geral vai ser:
Reescrevendo a parte complexa usando a fórmula de Euler:
Ufa, acabouuu