Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

3 d y d x + 1 2 y = 4

Passo 1

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha, vamos dividir tudo por 3:

3 d y d x + 12 y = 4

d y d x + 4 y = 4 3     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = 4 e B x = 4 3 então:

I x = e ∫ 4   d x

I x = e 4 x

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 e 4 x ∫ e 4 x . 4 3   d x + c

Temos ∫ e 4 x . 4 3   d x = e 4 x 3

Então

y x = 1 e 4 x . e 4 x 3 + c

y = 1 3 + c e 4 x

Como não temos nenhuma restrição em 1 3 + c e 4 x , então a solução está definida para todos os reais:

- ∞ < x < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y = 1 3 + c e 4 x

- ∞ < x < ∞

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