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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.1 - Ex. 4a

  1. Uma das equações básicas dos circuitos elétricos é

L d i d t + R i = E t

Onde L (henry) é a indutância, R (ohms) é a resistência, i (ampère) é a corrente e E (volt) a força eletromotriz.

  1. Resolva 1 supondo L e R constantes não-nulas, E t = E 0   para todo t e i   =   0 para t   =   0 .

Passo 1

Nossa expressão é:

L d i d t + R i = E t

a) Nesse primeiro caso, temos o seguinte:

E t = E 0

Logo,

L d i d t + R i = E 0

Para resolvermos uma EDO 1º ordem não homogênea, fazemos o seguinte:

  1. Deixamos a EDO no seguinte formato :

    2. d x d t + a x = f t

    Então, dividindo nossa expressão por L :

    d i d t + R L i = E 0 L

  2. Agora vamos calcular o fator integrante:

    3. g x = e ∫ a d t

    Assim,

    g x = e ∫ R L d t

    Não esquece: ∫ e a x d x = e a x a + k

    Portanto,

    g x = L R e R L t

    Passo 2

  3. Por último, multiplicamos a EDO por g ( x ) e finalizamos!

d i d t + R L i = E 0 L

Multiplicando por g ( x ) :

L R e R L t d i d t + L R e R L t R L i = L R e R L t   E 0 L

Isto é,

L R e R L t d i d t + e R L t i = e R L t   E 0 R

A ideia de fazer isso é que o nosso lado esquerdo sempre fica o seguinte:

L R e R L t d i d t + e R L t i = L R e R L t i '

Então temos o seguinte:

L R e R L t i ' = e R L t E 0 L

Aplicando a integral:

L R e R L t i = ∫ e R L t E 0 L d t

Tirando as constantes da integral: L R e R L t i = E 0 L ∫ e R L t d t

Portanto,

L R e R L t i = E 0 L ∫ e R L t d t

Passo 2

Calculando a integral:

L R e R L t i = E 0 L × e R L t R / L + k  

Arrumando as coisas:

L R e R L t i = E 0 R e R L t + k  

Isolando o i :

i ( t ) = E 0 L + k e - R L t

Para acharmos o k , vamos usar que i 0 = 0 .

E 0 L + k e 0 = 0

Logo,

k = - E 0 L

Juntado tudo, temos:

i ( t ) = E 0 L 1 - e - R L t

Resposta

i ( t ) = E 0 L 1 - e - R L t

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