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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 7

7. Um material radioativo se desintegra a uma taxa de d m d t proporcional a m , onde m = m ( t ) é a quantidade de matéria no instante t . Supondo que a quantidade inicial (em t = 0 ) de matéria seja m 0 e que após 10 anos já tenha se desintegrado 1 / 3 da quantidade inicial, pede-se o tempo necessário para que metade da quantidade inicial se desintegre.

Passo 1

Como o matéria se desintegra a uma taxa de d m d t proporcional a m , vamos escrever o seguinte:

d m d t = k m

Onde k é uma constante de proporcionalidade.

Passo 2

Passando o m para baixo o jogando o d t pra direita:

d m m = k d t

Integrando, temos:

∫ d m m = ∫ k d t

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

ln ⁡ m = k t + C

Assim,

m = e k t + C

Portanto,

m ( t ) = c e k t

Para t = 0 :

m 0 = c e 0 → c = m 0

m ( t ) = m 0 e k t

Passo 3

Agora vamos usar as condições do enunciado:

m 10 = 2 3 m 0 , pois já se desintegrou 1 3

Logo,

2 3 m 0 = m 0 e 10 k → e 10 k = 2 3

Aplicando l n :

10 k = ln ⁡ 2 3 → k = 1 10 ln ⁡ 2 3

Como queremos saber o tempo em que m t ' = m 0 2 :

m 0 2 = m 0 e k t '

Simplificando,

1 2 = e k t '

Aplicando l n :

ln ⁡ 1 2 = k t '

Opa, mas o k nós já achamos!

ln ⁡ 1 2 = 1 10 ln ⁡ 2 3 t '

Isolando t ' :

t ' = 10 ln ⁡ 1 2 ln ⁡ 2 3

Fazendo as contas:

t ' ≈ 17   a n o s

Resposta

17   a n o s

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