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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 9

9. Determine a função y = f x ,   x > 0 , cujo gráfico passa pelo ponto 1,2 e que goza da propriedade : a área do triangulo de vértices ( 0,0 ) , x , y e 0 , m , m > 0 é igual a 1 , para todo ( x , y ) no gráfico de f , onde ( 0 , m ) é a interseção da reta tangente em ( x , y ) com o eixo y .

Passo 1

Fazendo uma ilustração do triângulo, temos o seguinte:

Para achar a área, vamos o seguinte:

A = 1 2 b a s e × a l t u r a

Assim,

A = 1 2 m × x

Como a área é sempre 1:

1 = m x 2 → m = 2 x   ( i )

Passo 2

Agora vamos dar uma olhada para a reta tangente ao gráfico de f . Como o coeficiente angular é a derivada no ponto e o ponto:

y - y 0 = d y d x x - x 0

Mas o ponto ( 0 , m ) pertence a reta. Assim,

y - m = d y d x x     ( i i )

Substituindo ( i ) em ( i i ) :

y - 2 x = d y d x x

Arrumando as coisas:

x d y d x - y = - 2 x

Passo 3

Para resolvermos uma EDO 1º ordem não homogênea, fazemos o seguinte:

  1. Deixamos a EDO no seguinte formato :

    2. d x d t + a x = f t

    Então, dividindo nossa expressão por x :

    d y d x - y x = - 2 x 2

  2. Agora vamos calcular o fator integrante:

    3. g x = e ∫ -   1 x d x

    Assim,

    g x = e - ∫ 1 x d x

    Portanto,

    g x = e - ln ⁡ x → g x = 1 x

  3. Por último, multiplicamos a EDO por g ( x ) e finalizamos!

d y d x - y x = - 2 x 2

Multiplicando por g ( x ) :

1 x × d y d x - 1 x × y x = - 1 x × 2 x 2

Isto é,

1 x d y d x - y x 2 = - 2 x 3  

A ideia de fazer isso é que o nosso lado esquerdo sempre fica o seguinte:

1 x d y d x - y x 2 = y x '

Passo 4

Por fim, temos o seguinte:

y x ' = - 2 x 3

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Integrando:

y x = - 2 × x - 3 + 1 - 3 + 1 + k

Portanto,

y = 1 x + k x

Usando que o ponto 1,2 pertence a curva:

2 = 1 1 + k → k = 1

Reescrevendo nossa curva:

y = 1 x + x

Resposta

y = 1 x + x

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