(a) Mostre que a substituição z = 1 / P transforma a equação diferencial logística P' = k * P * (1 - P / M)

na equação diferencial linear

z' + kz = k / M

(b) Resolva a equação diferencial no item (a) para encontrar uma expressão para P(t). Compare com a Equação 9.4.7.

Passo 1

a) Na expressão P ' = k P ( 1 - P M ) , temos P e P’, então antes de fazer a substituição vamos encontrar quem é P e P’.

Sabemos que z = 1 / P   , logo P = 1 / z .

Derivando P obtemos: P ' = - 1 z 2 z ' .

Agora que já sabemos quem é P e P’ podemos substituilos na expressão:

- 1 z 2 z ' = k 1 z 1 - 1 z M

z ' = - k z 1 - 1 z M

z ' + k z = k M

Passo 2

b) Para encontrarmos uma solução para P(t), temos que primeiramente encontrar uma solução para z(t) e depois utilizar a substituição que fizemos incialmente.

Para encontrar z(t), vamos multiplicar ambos os lados da expressão z ' + k z = k M por e k t :

e k t z ' + k e k t z = k e k t M

A multiplicação desse termo em ambos os lados da expressão facilita a resolução do problema. Se olharmos com atenção o primeiro termo veremos que ele se parece muito com uma derivação utilizando a regra do produto, logo a expressão pode ser escrita da seguinte forma:

( e k t z ) ' = k e k t M

Agora podemos integrar ambos os lados:

∫ d e k t z = ∫ k e k t M d t

e k t z = ∫ k e k t M d t = e k t M + C

z = 1 M + C e k t

Utilizando a substituição P = 1 / z :

P = 1 1 M + C e k t = M 1 + M C e - k t

Resposta

P = M 1 + M C e - k t

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