Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.5 - Ex. 37

(a) Mostre que a substituição z = 1 P transforma a equação diferencial logística P ' = k P ( 1 - P M )

na equação diferencial linear

z ' + k z = k M

(b) Resolva a equação diferencial no item (a) para encontrar uma expressão para P(t). Compare com a Equação 9.4.7.

Passo 1

a) Na expressão P ' = k P ( 1 - P M ) , temos P e P’, então antes de fazer a substituição vamos encontrar quem é P e P’.

Sabemos que z = 1 / P   , logo P = 1 / z .

Derivando P obtemos: P ' = - 1 z 2 z ' .

Agora que já sabemos quem é P e P’ podemos substituilos na expressão:

- 1 z 2 z ' = k 1 z 1 - 1 z M

z ' = - k z 1 - 1 z M

z ' + k z = k M

Passo 2

b) Para encontrarmos uma solução para P(t), temos que primeiramente encontrar uma solução para z(t) e depois utilizar a substituição que fizemos incialmente.

Para encontrar z(t), vamos multiplicar ambos os lados da expressão z ' + k z = k M por e k t :

e k t z ' + k e k t z = k e k t M

A multiplicação desse termo em ambos os lados da expressão facilita a resolução do problema. Se olharmos com atenção o primeiro termo veremos que ele se parece muito com uma derivação utilizando a regra do produto, logo a expressão pode ser escrita da seguinte forma:

( e k t z ) ' = k e k t M

Agora podemos integrar ambos os lados:

∫ d e k t z = ∫ k e k t M d t

e k t z = ∫ k e k t M d t = e k t M + C

z = 1 M + C e k t

Utilizando a substituição P = 1 / z :

P = 1 1 M + C e k t = M 1 + M C e - k t

Resposta

P = M 1 + M C e - k t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial e use uma calculadora gráfica ou um computador para traçar vários membros da família de soluções. Como a curva solução muda quando C varia? x y ' = x 2 + 2 y
7. Um material radioativo se desintegra a uma taxa de d m d t proporcional a m , onde m = m ( t ) é a quantidade de matéria no instante t . Supondo que a quantidade inicial (em t = 0 ) de matéria seja
9. Determine a função y = f x ,x0 , cujo gráfico passa pelo ponto 1,2 e que goza da propriedade : a área do triangulo de vértices ( 0,0 ) , x , y e 0 , m , m0 é igual a 1 , para todo ( x , y ) no gráf
Uma das equações básicas dos circuitos elétricos é L d i d t + R i = E t Onde L (henry) é a indutância, R (ohms) é a resistência, i (ampère) é a corrente e E (volt) a força eletromotriz.Resolva 1 supo