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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 9

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

x 2 y ' + x y = 1

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha:

x 2 y ' + x y = 1

d y d x + x x 2 y = 1 x 2

d y d x + 1 x y = 1 x 2       ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = 1 x e B x = 1 x 2 então:

I x = e ∫ 1 x   d x

I x = e ln ⁡ x

I x = x

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 x ∫ x . 1 x 2   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente, temos

∫ x . 1 x 2   d x = ∫ 1 x   d x

Então

∫ x . 1 x 2   d x = l n ⁡ | x |

Substituindo em ( I I I ) :

y x = 1 x l n ⁡ | x | + c

y x = l n ⁡ | x | x + c x

Sendo que x não pode ser negativo nunca por causa do l n

0 < x < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y x = l n ⁡ | x | x + c x

0 < x < ∞

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