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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 1.3 - Ex. 30

Outra maneira deduzir a equação do pêndulo (12) baseia-se no princípio de conservação de energia

  1. Mostre que a energia cinética T do pêndulo em movimento é

    2. T = 1 2 ⋅ m ⋅ L 2 ⋅ d θ d t 2

  2. Mostre que a nergia potencial V do pêndulo relativa à posição de repouso é

    3. V = m ⋅ g ⋅ L ⋅ 1 - cos ⁡ θ

  3. Pelo princípio de conservação de energia, a energia total E = T + V é constante. Calcule d E / d t , iguale a zero e mostre que a equação resultando pode ser reduzida à Eq. (12).

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos analisar as informações dadas no enunciado e tentar descrever uma equação que satisfaça todos os requisitos do problema. Depois vamos seguir as dicas de cada item para encontrar as informações pedidas. Vamos juntos para resolver!!

Passo 2

  1. Bom, temos que a energia cinética angular é dada por

    2. T = 1 2 ⋅ m ⋅ v θ 2

    E que no exercício anterior nos foi dado que a aceleração angular é a θ = L ⋅ d 2 θ d t 2 . Mas também sabemos que a aceleração angular pode ser escrita como

    L ⋅ d 2 θ d t 2 = a θ = d v θ d t

    Integrando então de ambos os lados em relação ao tempo, teremos que

    v θ = L ⋅ d θ d t

    Substituindo na nossa energia cinética

    T = 1 2 ⋅ m ⋅ L 2 ⋅ d θ d t 2

    Passo 3

  2. Temos que a energia potencial é dada por V = m ⋅ g ⋅ h , onde h , para esse caso, será a altura relativa ao ponto de repouso do pêndulo. Definindo no ponto mais baixo do pêndulo como V = 0 , temos que a energia potencial será sempre positiva então. Como queremos a relativa, temos que a altura será

    3. h = h r e p o u s o - h a t u a l

    Observando o ângulo θ , vemos que a h a t u a l será h a t u a l = L ⋅ cos ⁡ θ , onde L é o tamanho da corda. Para o h r e p o u s o temos que ele sempre será h r e p o u s o = L . Então, nossa energia potencial será

    V = m ⋅ g ⋅ L ⋅ 1 - cos ⁡ θ

    Passo 4

  3. Como já encontramos as energias, temos que somando chegamos que

E = T + V = 1 2 ⋅ m ⋅ L 2 ⋅ d θ d t 2 + m ⋅ g ⋅ L ⋅ 1 - cos ⁡ θ

Se derivarmos a energia, temos que d E d t = 0 , como dito no enunciado, assim

d E d t = 0 = 1 2 ⋅ m ⋅ L 2 ⋅ 2 ⋅ d θ d t ⋅ d 2 θ d t 2 + m ⋅ g ⋅ L ⋅ sin ⁡ θ ⋅ d θ d t

d θ d t ⋅ m ⋅ L 2 ⋅ d 2 θ d t 2 + m ⋅ g ⋅ L ⋅ sin ⁡ θ = 0

m ⋅ L 2 ⋅ d 2 θ d t 2 + m ⋅ g ⋅ L ⋅ sin ⁡ θ = 0

d 2 θ d t 2 + g L ⋅ sin ⁡ θ = 0

Como queríamos mostrar

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Resolva o problema de valor inicial. t d u d t = t 2 + 3 u , t0 ,u 2 = 4
Determine se a equação diferencial é linear. x - y ' = x y
Resolva o problema de valor inicial. t 3 d y d t + 3 t 2 y = cos ⁡ t ,y π = 0
Resolva a equação diferencial. y ' = x - y
Resolva a equação diferencial. 4 x 3 y + x 4 y ' = sen 3 ⁡ x