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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.1 - Ex. 1o

  1. Ache a solução geral.

o)2 (d x)/(d t) + x = t

Passo 1

Foi provado no livro do Guidorizzi a seguinte solução:

(d x)/(d t) + a x = f (t)

São as funções da forma:

x = k e^(- a t) + e^(- a t) int e^(a t) f (t) d t

Passo 2

Aplicando em nossa questão:

a = (1)/(2) , f (t) = (t)/(2)

x = k e^(- ((1)/(2)) t) + e^(- ((1)/(2)) t) int e^(((1)/(2)) t) (t)/(2) d t

Passo 3

Resolvendo,

x = k e^(- (1)/(2) t) + e^(- (1)/(2) t) int e^((1)/(2) t) (t)/(2) d t

= k e^(- (1)/(2) t) + e^(- (1)/(2) t) (t - 2) e^((1)/(2) t)

= k e^(- (1)/(2) t) + (t - 2) (e^((1)/(2) t))/(e^((1)/(2) t))

Resposta

x = k e^(- (1)/(2) t) + ( t - 2 )

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