Nos problemas 1-10, determine uma região do plano x * y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto (x₀, y₀) na região.

(1 + y³) . y' = x²

Passo 1

Nos problemas de 1 a 10, vamos usar o teorema 2.1 do seu livro, belezinha?

Então vamos lá, temos que determinar uma região no plano x y no qual a equação 1 + y ³ . y ' = x ²

d y d x = x 2 1 + y ³

tem solução única passando por um ponto x 0 , y 0

Seguindo o teorema 2.1, vamos chamar

f x , y = x 2 1 + y ³

E, nesse caso, usando a regra do quociente:

∂ f ∂ y = - 3 x ² y ² ( 1 + y ³ ) ²

Que não está definida para os valores de y que zeram o denominador. O único valor que zera o denominador é o y = - 1 , porque olha:

1 + - 1 3 = 0

Então, d y d x = x 2 1 + y ³ vai ter solução única nas regiões em que

y ≠ - 1

Resposta

y ≠ - 1

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