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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 18

Os problemas de 17 a 22 tratam do efeito de uma sequência de impulsos aplicados em um oscilador não amortecido. Suponha que

y ″   +   y   =   f   ( t ) ,   y ( 0 )   =   0 ,   y '   ( 0 )   =   0 .

Para cada uma das escolhas para f ( t ) :

(a) Tente prever a natureza da solução sem resolver o problema.

(b) Teste sua previsão encontrando a solução e desenhando seu gráfico.

(c) Determine o que acontece após o final da sequência de impulsos.

18)

f t = ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 δ ( t - k π )

Passo 1

a) Baseado na solução do problema 16(b) desta mesma seção, podemos prever que a solução será da seguinte forma:

∑ k = 1 20 - 1 k + 1 u k π t s e n t - k π

Devido a linearidade da transformada inversa de Laplace, bem podemos ser mais precisos executando:

y = ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 u k π t s e n t - k π

= u π t s e n   t - π - u 2 π t   s e n   t - 2 π + … - u 20 π t s e n t - 20 π

= - u π t s e n   t - u 2 π t s e n t - u 3 π t s e n t - … - u 20 π t s e n ( t )

Tendo:

= 0 ,   0 ≤ t < π

= - s e n   t , π ≤ t < 2 π ,

= - 2   s e n   t ,   2 π ≤ t < 3 π

= - 3 s e n   t ,   3 π ≤ t < 4 π

…

= - 20   s e n   t ,   t ≥ 20 π

Passo 2

b) Pela transformada de Laplace e aplicando na equação diferencial:

L y ' ' + y = L y ' ' + L y

= s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + Y s

= s 2 Y s + Y s

= s 2 + 1 Y s

Nós temos equação de Laplace do lado esquerdo e podemos coletar a transformada do lado direito pela seguinte equação:

L ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 δ t - k π = ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 L δ t - k π

= ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 e - k π s

Bem igualando o resultado das duas equações que calculamos temos:

s 2 + 1 Y s = ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 e - k π s

Ou

Y s = ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 e - k π s s 2 + 1  

Aplicando a transformada inversa de Laplace, olhando nos itens 5 e 13, da tabela 6.2.1, temos:

y = ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 u k π t s e n   t - k π

Passo 3

c)Utilizando nossas equações para plotar o gráfico temos:

Perceba que após uma sequencia de pulsos, a solução fica entre - 20   s e n   t .

Resposta

a) ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 u k π t s e n t - k π

b)

y = ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 u k π t s e n   t - k π

c) Perceba que após uma sequencia de pulsos, a solução fica entre - 20   s e n   t .

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