Modifique o problema no Exemplo 2 desta seção substituindo o termo não homogêneo g(t) por

1. Esboce o gráfico de f(t) e descreva como ele depende de k. Para que valores de k a função f(t) é idêntica a g(t) no exemplo?
2. Resolva o problema de valor inicial
3. A solução no item (b) depende de k, mas, para t suficientemente grande, a solução sempre é uma oscilação harmônica simples em torno de y = 1/4. Tente decidir como a amplitude dessa oscilação depende, finalmente, de k. Depois confirme sua conclusão fazendo o gráfico da solução para alguns valores diferentes de k.

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

Aplique as condições iniciais, e

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa!

Chegando em:

Abaixo estão vários gráficos de y(t) versus t para vários valores de k:

Agora plote os valores de A versus os valores de k para determinar a dependência funcional.