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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios de Revisão - Ex. 20

Nos problemas 17-22, encontre duas soluções linearmente independentes para cada equação.

20. x²y’’ - xy’ + (x²+1) y = 0

Passo 1

Como sabemos, podemos realizar a substituição com y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r . Substituindo na equação diferencial, teremos:

x ² y ' ' - x y ' + x 2 + 1 y = r 2 - 2 r + 1 c 0 x r + r 2 c 1 x r + 1 + ∑ k = 2 ∞ k + r k + r - 1 c k - k + r c k + c k + c k - 2 x k + r = 0

Com a implicação de que r ² - 2 r + 1 = r - 1 2 = 0 ,   r 2 c 1 = 0 e k + r k + r - 2 + 1 c k + c k - 2 = 0 .

Passo 2

Após encontrarmos as equações, podemos encontrar as raízes r pela resolução da equação, chegando em r1=r2=1 e a constante c1=0. Além disso, temos que

c k = - c k - 2 k 2 ,   c o m   k = 2,3 , 4 , … , então, temos:

c 2 = - 1 4 c 0 ,   c 3 = c 5 = c 7 = … = 0 ,   c 4 = 1 64 c 0 , c 6 = - 1 2,304 c 0  

Passo 3

Assim, uma solução é:

y 1 = C 0 x 1 - 1 4 x 2 + 1 64 x 4 - 1 2,304 x 6 + … .

Passo 4

A segunda solução pode ser encontrada com:

y 2 = y 1 ∫ e d x x y 1 ²   d x = y 1 ∫ x d x x 2 1 - 1 4 x 2 + 1 64 x 4 - 1 2,304 x 6 + … ²  

= y 1 ∫ d x x 1 - 1 2 x 2 + 3 32 x 4 - 5 576 x 6 + …

= y 1 ∫ 1 x 1 + 1 2 x 2 + 5 32 x 4 + 23 576 x 6 + … d x

= y 1 ∫ 1 x + 1 2 x + 5 32 x 3 + 23 576 x 5 + … d x

= y 1 ln ⁡ x +   y 1 1 4 x 2 + 5 128 x 4 + 23 3,456 x 6 + … .

Resposta

Assim, concluímos que y 1 = C 0 x ³ 1 + 5 4 x + 11 8 x 2 + 209 144 x 3 + … e y 2 = y 1 ln ⁡ x +   y 1 1 4 x 2 + 5 128 x 4 + 23 3,456 x 6 + … .    

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