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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios de Revisão - Ex. 21

Nos problemas 17-22, encontre duas soluções linearmente independentes para cada equação.

21. xy’’ – (2x-1)y’ + (x-1) y = 0

Passo 1

Como sabemos, podemos realizar a substituição com y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r . Substituindo na equação diferencial, teremos:

x y ' ' - 2 x - 1 y ' + x - 1 y = r 2 c 0 x r - 1 + r 2 + 2 r + 1 c 1 - 2 r + 1 c 0 x r + ∑ k = 2 ∞ k + r k + r - 1 c k + k + r c k - 2 k + r - 1 c k - 1 - c k - 1 + c k - 2 - x k + r - 1 = 0

Além disso, nós temos a implicação de que r ² = 0 ,   ( r + 1 ) 2   c 1 - ( 2 r + 1 )   c 0 = 0 e k + r ² c k - 2 k + 2 r - 1 c k - 1 + c k - 2 = 0 .

Passo 2

Após encontrarmos as equações, podemos encontrar as raízes r pela resolução da equação, chegando em r1=r2=1 e a constante c1=0. Assim, temos que

c k = ( 2 k - 1 ) c k - 1 - c k - 2 k 2 ,   c o m   k = 2,3 , 4 , … , então, temos:

c 2 = 1 2 c 0 ,   c 3 = 1 3 ! c 0 ,   c 4 = 1 4 ! c 0  

Passo 3

Assim, encontramos as duas soluções! A primeira será:

y 1 = C 0 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3 ! x 3 + 1 4 ! x 4 + … = C 0 e x .

Passo 4

E, consequentemente, encontramos a segunda solução, que será:

y 2 = e x ∫ e ∫ ( 2 - 1 / x ) d x e 2 x   d x  

Resolvendo esta integral, teremos:

y 2 = e x ∫ e 2 x d x x e 2 x = e x ∫ 1 x d x = e x ln ⁡ x

Resposta

Assim, concluímos que y 1 = C 0 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3 ! x 3 + 1 4 ! x 4 + … = C 0 e x e y 2 = e x ln ⁡ x .    

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