Nos Problemas 19-22, deduz a relação de recorrência dada.

d/dx [ x^v J_v(x) ] = x^v J_v-1(x)

Passo 1

Opa, tudo joia?

A definição de J v ( x ) é:

J v x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! Γ 1 + v + n x 2 2 n + v

Derivando em relação a x :

J v ' x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 2 n + v ) 2 n ! Γ 1 + v + n x 2 2 n + v - 1

E observe que:

J v - 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! Γ v + n x 2 2 n + v - 1

Passo 2

Para determinar a derivada pedida, usamos a regra do produto:

d d x x v   J v x = x v   J ' v x + v   x v - 1 J v ( x )

Substituindo o que já encontramos:

= x v ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 2 n + v ) 2 n ! Γ 1 + v + n x 2 2 n + v - 1 + v x v - 1 ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! Γ 1 + v + n x 2 2 n + v

= x v ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 2 n + v ) 2 n ! ( v + n ) Γ v + n x 2 2 n + v - 1 + x v ∑ n = 0 ∞ - 1 n v   2 - 1 n ! v + n Γ v + n x 2 - 1 x 2 2 n + v

= x v ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + v 2 n ! v + n Γ v + n x 2 2 n + v - 1 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n v   2 n ! v + n Γ v + n x 2 2 n + v - 1

= x v ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + v 2 n ! v + n Γ v + n x 2 2 n + v - 1

= x v ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! Γ v + n x 2 2 n + v - 1

Que, como visto ali em cima...

= x v   J v - 1 ( x )

E chegamos ao que queríamos demonstrar 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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