Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.2 - Ex. 21
Nos problemas 21-30, resolva cada equação diferencial da maneira dos capítulos anteriores e então compare os resultados com as soluções obtidas através de séries de potências
Passo 1
E aííí parceiro
Bora lá, a gente tem essa equação diferencial
Aí temos que resolver essa equação diferencial utilizando as técnicas que já aprendemos até o momento beleza? Vamos lá
Passo 2
Bom, temos
Que é uma EDO separável:
Integrando dos dois lados:
E encontramos nossa solução usando os métodos anteriores :P Agora vamos lá encontrar a solução utilizando série de potências
Passo 3
Pra começar, vamos substituir nossa equação diferencial em , isso nos dá:
Vamos mudar o índice do primeiro somatório para fazendo e no segundo vamos manter , pois já temos o 0 ali
Isso é:
Então temos
E isolando , temos
Dessa forma, temos
Então, nossa solução é
Que pode ser escrito assim:
Opa, mas essa série a gente conhece, ela representa o , então:
Exatamente o que encontramos no outro método :D