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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.2 - Ex. 22

Nos problemas 21-30, resolva cada equação diferencial da maneira dos capítulos anteriores e então compare os resultados com as soluções obtidas através de séries de potências y = ∑ n = 0 ∞ x n . x n

y ' = 2 y

Passo 1

E aííí parceiro

Bora lá, a gente tem essa equação diferencial

y ' = 2 y

Aí temos que resolver essa equação diferencial utilizando as técnicas que já aprendemos até o momento beleza? Vamos lá

Passo 2

Bom, temos

y ' = 2 y

Que é uma EDO separável:

d y y = 2

Integrando dos dois lados:

∫ 1 y d y = ∫ 2 d x

ln ⁡ y = 2 x + c

y = e 2 x + c

y = c 1 e 2 x

E encontramos nossa solução usando os métodos anteriores :P Agora vamos lá encontrar a solução utilizando série de potências

Passo 3

Pra começar, vamos substituir nossa equação diferencial em y = ∑ n = 0 ∞ c n . x n , isso nos dá:

y ' - 2 y = ∑ n = 1 ∞ n . c n . x n - 1 - 2 ∑ n = 0 ∞ c n . x n

Vamos mudar o índice do primeiro somatório para 0 fazendo k = n - 1 e no segundo vamos manter k = n , pois já temos o 0 ali

y ' - 2 y = ∑ k = 0 ∞ k + 1 . c k + 1 . x k - 2 ∑ n = 0 ∞ c k . x k

Isso é:

y ' - 2 y = ∑ k = 0 ∞ [ ( k + 1 ) . c k + 1 - 2 c k ] . x k = 0

Então temos

( k + 1 ) . c k + 1 - 2 c k = 0

E isolando c k + 1 , temos

c k + 1 = 2 k + 1 c k ,   k = 0,1 , 2,3 …

Dessa forma, temos

c 1 = 2 c 0

c 2 = 4 2 c 0

c 3 = 8 6 c 0

c 4 = 1 6 24 c 0

Então, nossa solução é

y = c 0 + 2 c 0 x + 4 2 c 0 x 2 + 8 6 c 0 x 3 + 1 6 24 c 0 x 4 + …

Que pode ser escrito assim:

y = c 0 ∑ n = 0 ∞ 1 n ! 2 x n

Opa, mas essa série a gente conhece, ela representa o e 2 x , então:

y = c 0 . e 2 x

Exatamente o que encontramos no outro método :D

Resposta

y = c 1 e 2 x

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