Nos problemas 23-28, mostre, calculando o Wronskiano, que as funções dadas são linearmente independentes no intervalo indicado.

e^x, e^(-x), e^(4x); (-∞, ∞)

Passo 1

Olá, tudo bem?

Bom, para as funções serem LI, o Wronskiano tem que ser diferente de zero em pelo menos um ponto no intervalo.

O Wronskiano (pra duas funções) é esse determinante aqui ó:

W = f 1 f 2 f 3 f 1 ' f 2 ' f 3 ' f 1 ' ' f 2 ' ' f 3 ' '  

Vamos calcular no nosso caso então...

Passo 2

Substituindo as nossas funções e as derivadas delas:

W = e x e - x e 4 x e x - e - x 4 e 4 x e x e - x 16 e 4 x  

= e x - 20 e 3 x - e - x ⋅ 12 e 5 x + e 4 x ⋅ 2

= - 30 e 4 x

Aqui a gente tem que W ≠ 0 em qualquer ponto.

Como W ≠ 0 em pelo menos um ponto do intervalo, temos que as funções são linearmente independentes!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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