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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 23

Nos problemas 23-28, use (6) para encontrar f ( t )

L^(- 1) {(1)/(s (s + 1))}

Passo 1

Cara, primeiramente, quem é (6)?

É isso aqui olha:

L^(- 1) (F (s) . G (s)) = f (t) * g (t) ( I )

Ou seja, a multiplicação no domínio s é a convolução no domínio t

Então, vamos separar o nosso H ( s ) dado em uma multiplicação F (s) . G ( s ) :

H (s) = (1)/(s (s + 1))

H (s) = (1)/(s) . (1)/(s + 1)

Logo, F (s) = (1)/(s) e G (s) = (1)/(s + 1)

Agora precisamos encontrar suas transformadas inversas f ( t ) e g ( t ) , pra aí usarmos ( I ) , ok?

Passo 2

Queremos encontrar:

L^(- 1) {F (s) . G (s)} = f (t) * g ( t )

L^(- 1) {(1)/(s) . (1)/(s + 1)} = f (t) * g (t) ( I I )

Onde:

f (t) = L^(- 1) {(1)/(s)}

g (t) = L^(- 1) {(1)/(s + 1)}

Usando o teorema 7.3 do seu livro, temos:

f (t) = 1

g (t) = e^(- t)

Agora é só aplicar em ( I I ) :D

Passo 3

Substituindo f ( t ) e g ( t ) em ( I I ) , temos:

L^(- 1) {(1)/(s) . (1)/(s + 1)} = 1 * e^(- t)

Pela fórmula de convolução:

L^(- 1) {(1)/(s) . (1)/(s + 1)} = int_0^t 1 . e^(- (t - tau)) d tau

L^(- 1) {(1)/(s) . (1)/(s + 1)} = int_0^t e^(- t) . e^(tau) d tau

Como e^(- t) é constante na integral, vamos colocar pra fora:

L^(- 1) {(1)/(s) . (1)/(s + 1)} = e^(- t) int_0^t e^(tau) d tau

Resolvendo a integral:

L^(- 1) {(1)/(s) . (1)/(s + 1)} = e^(- t) . [e^(tau)]_(tau = 0)^(tau = t)

L^(- 1) {(1)/(s) . (1)/(s + 1)} = e^(- t) . ( e^t - e^0 )

L^(- 1) {(1)/(s) . (1)/(s + 1)} = e^(- t) . ( e^t - 1 )

L^(- 1) {(1)/(s) . (1)/(s + 1)} = 1 - e^(- t)

E acabamosss

Resposta

L^(- 1) {(1)/(s) . (1)/(s + 1)} = 1 - e^(- t)

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