Considere a equação integral de Volterra t + ∫ 0 t t - ξ ξ d ξ = s e n ( 2 t ) (a) Resolva a equação integral usando a transformada de Laplace.(b) Diferenciando a equação duas vezes, mostre que t satisfaz a equação diferencial ' ' t + t = - 4s e n( 2 t ) Mostre também que as condições iniciais são 0 = 0e' 0 = 2 (c) Resolva o problema de valor inicial no item (b) e verifique se a solução é a mesma que a encontrada no item (a).

Enunciado

Vamos começar chamando e . Nosso próximo passo é relembrar o teorema sobre a convolução. Ele diz que: se e existem e

Então:

Tudo bem???

Então, nossa equação se reduz à:

Se aplicarmos a transformada de Laplace ficamos com:

Como já vimos pelo teorema sobre a convolução:

Igualando as duas equações:

Se aplicarmos a transformada inversa:

De acordo com a tabela 6.2.1 do livro:

Aplicando o teorema de Laplace na equação:

Pelo teorema da convolução:

Agora que encontramos a função o exercício nos pede para diferenciar duas vezes. Então:

A equação diferencial dada foi:

Então a função que encontramos atende à equação. No item (b) devemos ainda verificar que as condições de valor inicial são atendidas:

Então, as condições de contorno também foram atendidas.

Para resolver o problema de valor inicial vamos começar aplicando a transformada de Laplace:

Vamos chamar . Ficamos então com:

Chamando

Pela tabela 6.2.1 do livro:

Ficamos então com:

Aplicando a transformada inversa:

Que é a mesma solução obtida no item (a).

Ei, a resposta está no passo a passo :)