Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 22
Considere a equação integral de Volterra
(a) Resolva a equação integral usando a transformada de Laplace.
(b) Diferenciando a equação duas vezes, mostre que satisfaz a equação diferencial
Mostre também que as condições iniciais são
(c) Resolva o problema de valor inicial no item (b) e verifique se a solução é a mesma que a encontrada no item (a).
Passo 1
Vamos começar chamando e . Nosso próximo passo é relembrar o teorema sobre a convolução. Ele diz que: se e existem e
Então:
Tudo bem???
Então, nossa equação se reduz à:
Se aplicarmos a transformada de Laplace ficamos com:
Como já vimos pelo teorema sobre a convolução:
Igualando as duas equações:
Se aplicarmos a transformada inversa:
De acordo com a tabela 6.2.1 do livro:
Aplicando o teorema de Laplace na equação:
Pelo teorema da convolução:
Passo 2
Agora que encontramos a função o exercício nos pede para diferenciar duas vezes. Então:
E
A equação diferencial dada foi:
Então a função que encontramos atende à equação. No item (b) devemos ainda verificar que as condições de valor inicial são atendidas:
E
Então, as condições de contorno também foram atendidas.
Passo 3
Para resolver o problema de valor inicial vamos começar aplicando a transformada de Laplace:
Vamos chamar . Ficamos então com:
Chamando
Pela tabela 6.2.1 do livro:
Ficamos então com:
Aplicando a transformada inversa:
Que é a mesma solução obtida no item (a).
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)