Existem também equações, conhecidas como equações integrodiferenciais, em que aparecem tanto derivadas quanto integrais da função desconhecida.(a) Resolva a equação integrodiferencial dada usando a transformada de Laplace. ' t + ∫ 0 t t - ξ ξ d ξ = t ; 0 = 0 (b) Diferenciando a equação integrodiferencial um número suficiente de vezes, converta-a em um problema de valor inicial.(c) Resolva o problema de valor inicial no item (b) e verifique se a solução é a mesma que a encontrada no item (a).

Enunciado

Vamos começar relembrando o teorema sobre a convolução. Ele diz que:

Se e existem e

a função é dada por:

Para o nosso exercício:

Então

E ficamos com:

Aplicando a transformada de Laplace:

Vamos chamar:

Então, ficamos com:

Pelo teorema da convolução:

Usando a tabela 6.2.1 do livro podemos verificar que:

Voltando ao teorema sobre a convolução:

Agora que encontramos a função o exercício nos pede para diferenciar um número suficiente de vezes. Então:

Temos ainda

Podemos escrever a equação diferencial:

Com as condições de valor inicial:

Vamos agora resolver o problema de valor inicial:

Nosso primeiro passo é aplicar a transformada de Laplace:

Aplicando a transformada inversa:

Chamando:

Ficamos com:

Usando a tabela 6.2.1 do livro podemos verificar que:

Aplicando o teorema sobre a convolução:

Obtemos a resposta do item (a).

Ei, a resposta está no passo a passo :)