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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 13

Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução:

y ' ' + ω 2 y = g t ;

y 0 = 0   e   y ' 0 = 1

Passo 1

O exercício nos pede para encontrar a função y ( t ) . Vamos começar aplicando a transformada de Laplace nos dois lados da equação:

y ' ' + ω 2 y = g t

L y ' ' + ω 2 y = L g t

L y ' ' + L ω 2 y = L g t

Vamos chamar L y t = Y ( s ) e L g t = G ( s ) . Então:

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + ω 2 Y s = G ( s )

s 2 + ω 2 Y s - s x 0 - 1 = G ( s )

Y s = G s + 1 s 2 + ω 2

Passo 2

Nosso próximo passo para encontrar y ( t ) será aplicar a transformada inversa. Então:

Y s = G s + 1 s 2 + ω 2

Y s = G s s 2 + ω 2 + 1 s 2 + ω 2

Y s = ω ω   G s s 2 + ω 2 + ω ω 1 s 2 + ω 2

Y s = 1 ω ω s 2 + ω 2 G s + ω s 2 + ω 2

Vamos chamar

H s = ω s 2 + ω 2

F s = ω s 2 + ω 2 G s = H s G ( s )

Pela tabela 6.2.1 do livro:

Para H s = a s 2 + a 2 → H s = L h t → h t = sen ⁡ a t

No nosso caso a = ω → h t = sen ⁡ ω t

Passo 3

Para encontrar a transformada inversa de F ( s ) vamos aplicar o teorema sobre a convolução. Ele diz que:

Para F s = H s G ( s ) , em que H s = L h t , G s = L g t e F s = L f t , a função f ( t ) pode ser calculada por:

L - 1 F s = f t = ∫ 0 t h t - τ g τ d τ

Voltando para a equação anterior:

Y s = 1 ω H ( s ) G s + H ( s )

L - 1 Y s = 1 ω L - 1 H ( s ) G s + H ( s )

y t = 1 ω   L - 1 F s + 1 ω   L - 1 H s

y t = 1 ω f t + 1 ω sen ⁡ ω t

y t = 1 ω ∫ 0 t h t - τ g τ d τ + 1 ω sen ⁡ ω t

y t = 1 ω sen ⁡ ω t + 1 ω ∫ 0 t sen ⁡ t - τ g τ d τ

Resposta

A solução para o problema é y t = 1 ω sen ⁡ ω t + 1 ω ∫ 0 t sen ⁡ t - τ g τ d τ .

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