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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 25

(a) Resolva a equação de Volterra dada usando a transformada de Laplace.

t + 2 ∫ 0 t cos ⁡ ( t - ξ ) ξ d ξ = e - t

(b) Converta a equação integral a um problema de valor inicial.

(c) Resolva o problema de valor inicial no item (b) e verifique se a solução é a mesma que a encontrada no item (a).

Passo 1

Vamos começar chamando k t = 2 cos ⁡ t e f t = e - t . Nosso próximo passo é relembrar o teorema sobre a convolução. Ele diz que: se L k ( t ) e L ( t ) existem e

L y ( t ) = L k ( t ) x L ( t )

Então:

y t = ∫ 0 t k t - ξ ξ d ξ

Tudo bem???

Então, nossa equação se reduz à:

t + y t = f ( t )

y t = f t - t

Se aplicarmos a transformada de Laplace ficamos com:

L y ( t ) = L f t - t

L y ( t ) = L f t - L t

Como já vimos pelo teorema sobre a convolução:

L y ( t ) = L k ( t ) x L ( t )

Igualando as duas equações:

L k ( t ) x L ( t ) = L f t - L t

L t x L k t + 1 = L f t

L t = L f t L k t + 1

Se aplicarmos a transformada inversa:

L - 1 L t = L - 1 L f t L k t + 1

t = L - 1 L f t L k t + 1

t = L - 1 L f t L k t + 1

t = L - 1 1 s + 1 2 s s 2 + 1 + 1

t = L - 1 1 s + 1 2 s + s 2 + 1 ( s 2 + 1 )

t = L - 1 s 2 + 1 s + 1 2 s + 1

t = L - 1 s 2 + 1 s + 1 3

t = L - 1 1 s + 1 - 2 s + 1 2 + 2 s + 1 3

t = L - 1 1 s + 1 + L - 1 - 2 s + 1 2 + L - 1 2 s + 1 3

De acordo com a tabela 6.2.1 do livro:

G s = 1 s + 1 → g t = e - t

H s = 2 s + 1 2 → h t = - 2 t e - t

J s = 2 s + 1 3 → j t = t 2 e - t

Então

t = e - t - 2 t e - t + t 2 e - t

t = e - t ( 1 - 2 t + t 2 )

Passo 2

Agora que encontramos a função t o exercício nos pede para diferenciar duas vezes. Então:

' t = d d t e - t ( 1 - 2 t + t 2 )

' t = - e - t 1 - 2 t + t 2 + e - t ( - 2 + 2 t )

' t = e - t ( - t 2 + 4 t - 3 )

E

' ' t = d d t ' t = d d t e - t ( - t 2 + 4 t - 3 )

' ' t = - e - t - t 2 + 4 t - 3 + e - t ( - 2 t + 4 )

' ' t = e - t ( t 2 - 6 t + 7 )

Podemos escrever a equação diferencial:

' ' t + 2 ' t + t = e - t ( 1 - 2 t + t 2 - 2 t 2 + 8 t - 6 + t 2 - 6 t + 7 )

' ' t + 2 ' t + t = 2 e - t

Com as condições de valor inicial:

0 = e - t ( 1 - 2 t + t 2 ) = 1

' 0 = e - t - t 2 + 4 t - 3 = - 3

Passo 3

Para resolver o problema de valor inicial vamos começar aplicando a transformada de Laplace:

' ' t + 2 ' t + t = 2 e - t

L ' ' t + 2 L ' t + L t = 2 L e - t

Vamos chamar L t = Y ( s ) . Ficamos então com:

s 2 Y s - s 0 - ' 0 + 2 s Y s - 0 + Y s = 2 s + 1

s 2 + 2 s + 1 Y s - s 0 - ' 0 - 2 0 = 2 s + 1

s 2 + 2 s + 1 Y s - s + 3 - 2 = 2 s + 1

s + 1 2 Y s = 2 s + 1 - 1 + s

Y s = 2 s + 1 3 - 1 s + 1 2 + s s + 1 2

Y s = 2 s + 1 3 - 1 s + 1 2 + 1 s + 1 - 1 s + 1 2

Y s = 2 s + 1 3 - 2 s + 1 2 + 1 s + 1

Aplicando a transformada inversa:

L - 1 Y s = L - 1 2 s + 1 3 - 2 s + 1 2 + 1 s + 1

Pela tabela 6.2.1 do livro, para:

G s = 1 s + 1 → g t = e - t

H s = 2 s + 1 2 → h t = - 2 t e - t

J s = 2 s + 1 3 → j t = t 2 e - t

Então

t = e - t - 2 t e - t + t 2 e - t

t = e - t ( 1 - 2 t + t 2 )

Que é a mesma solução obtida no item (a).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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